Дано:
В варианте ЕГЭ 49 вопросов. Верный ответ на каждый вопрос даёт 1 балл.
Найти:
Доказать, что стандартное отклонение случайной величины "суммарный балл Иванова" не больше чем 3,5.
Решение с расчетом:
Пусть вероятность того, что Иванов даст правильный ответ на любой вопрос, равна p, а вероятность того, что он даст неправильный ответ, равна q = 1 - p.
Суммарный балл Иванова представляет собой сумму случайных величин Xi, где i = 1, 2, ..., 49, каждая из которых представляет правильный (Xi = 1) или неправильный (Xi = 0) ответ на соответствующий вопрос.
Математическое ожидание суммарного балла можно выразить как E(X) = 49*p, поскольку математическое ожидание каждой Xi равно p.
Стандартное отклонение суммарного балла можно выразить как σ(X) = √(n*p*q), где n = 49 — количество испытаний, p — вероятность успеха, и q — вероятность неудачи.
Теперь можно посчитать стандартное отклонение:
σ(X) = √(49*p*q)
Поскольку p*q максимально при p = 0.5 (вероятность "успеха" равна вероятности "неудачи" для симметричного распределения), то максимальное значение p*q будет достигаться при p = 0.5.
Таким образом, максимальное значение p*q = 0.5*0.5 = 0.25.
Подставим это значение в формулу для стандартного отклонения:
σ(X) = √(49*0.25)
σ(X) = √12.25
σ(X) = 3.5
Ответ:
Таким образом, мы доказали, что стандартное отклонение случайной величины "суммарный балл Иванова" не больше чем 3,5.