Question

В походе было 16 туристов. Все собрались за ягодами и грибами, но в лагере нужно было оставить одного дежурного. Решили бросить жребий. Взяли колоду игральных карт, хорошо её перетасовали, и каждый по очереди вытащил из колоды карту: кто первым вытащит туза, тот и дежурит. Если на первом круге никто не вытащит туза, то будут тащить карты по второму кругу. Всего в колоде 32 карты, 4 из них — тузы. Справедливый ли это жребий? Найдите вероятность того, что:
а)  первого туза вытащит тот, кто тащит первым;
б)  первого туза вытащит тринадцатый в очереди.

Answer 1

дано:  
количество туристов n = 16;  
количество карт в колоде m = 32;  
количество тузов k = 4;  

найти:  
а) вероятность того, что первого туза вытащит тот, кто тащит первым;  
б) вероятность того, что первого туза вытащит тринадцатый в очереди.  

решение:  
вероятность того, что первый человек вытянет туза:  
P(туз у первого) = количество тузов / общее количество карт = k / m = 4 / 32 = 1 / 8.

вероятность того, что первый туза не вытащит первый турист:  
P(не туз у первого) = 1 - P(туз у первого) = 1 - 1/8 = 7/8.

вероятность того, что первый туза вытащит тринадцатый в очереди:  
тринадцатый турист вытащит туза, если никто из первых двенадцати не вытянул туза.  
вероятность того, что первые 12 не вытянут туза:  
P(нет тузов у первых 12) = (количество способов выбрать 12 карт без тузов) / (все возможные способы выбрать 12 карт)  
= C(28, 12) / C(32, 12),  
где C(n, k) — это биномиальные коэффициенты.

количество карт без тузов = 32 - 4 = 28.  

посчитаем биномиальные коэффициенты:
C(28, 12) = 28! / (12! * (28 - 12)!) = 28! / (12! * 16!),  
C(32, 12) = 32! / (12! * (32 - 12)!) = 32! / (12! * 20!).

используя свойство биномиальных коэффициентов, можно записать:  
P(нет тузов у первых 12) = C(28, 12) / C(32, 12) = (28! * 20!) / (32! * 16!) = (28 * 27 * ... * 17) / (32 * 31 * ... * 21).

теперь найдем, сколько оставшихся тузов у тринадцатого туриста: если первые 12 не вытянули ни одного туза, то остается 4 туза среди оставшихся 20 карт.  
вероятность того, что тринадцатый турист вытянет туза:  
P(туз у тринадцатого) = количество тузов / оставшееся количество карт = 4 / 20 = 1 / 5.

итоговая вероятность того, что тринадцатый турист вытащит первого туза:  
P(туз у тринадцатого) = P(нет тузов у первых 12) * P(туз у тринадцатого)  
= (C(28, 12) / C(32, 12)) * (4 / 20).

ответ:  
а) вероятность того, что первого туза вытащит тот, кто тащит первым: 1/8.  
б) вероятность того, что первого туза вытащит тринадцатый в очереди: (C(28, 12) / C(32, 12)) * (4 / 20).