Дано:
Количество испытаний n = 5.
Вероятность успеха в каждом отдельном испытании p = 0,3.
Вероятность неудачи q = 1 - p = 0,7.
Найти: вероятность того, что в этой серии случится:
а) ровно 3 успеха;
б) ровно 4 успеха.
Решение:
Для нахождения вероятности k успехов в n испытаниях используется формула биномиального распределения:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),
где C(n, k) — количество сочетаний из n по k.
а) Для k = 3 успеха:
C(5, 3) = 5! / (3! * (5 - 3)!)
= 5! / (3! * 2!)
= (5 * 4) / (2 * 1)
= 10.
Теперь вычислим вероятность:
P(X = 3) = C(5, 3) * p^3 * q^(5-3)
= 10 * (0,3)^3 * (0,7)^2
= 10 * 0,027 * 0,49
= 10 * 0,01323
= 0,1323.
б) Для k = 4 успеха:
C(5, 4) = 5! / (4! * (5 - 4)!)
= 5! / (4! * 1!)
= 5.
Теперь вычислим вероятность:
P(X = 4) = C(5, 4) * p^4 * q^(5-4)
= 5 * (0,3)^4 * (0,7)^1
= 5 * 0,0081 * 0,7
= 5 * 0,00567
= 0,02835.
Ответ:
а) Вероятность того, что в серии случится ровно 3 успеха, равна 0,1323.
б) Вероятность того, что в серии случится ровно 4 успеха, равна 0,02835.