Дано:
Количество лампочек в упаковке n = 10.
Вероятность того, что лампочка бракованная p = 0,03.
Вероятность того, что лампочка исправная q = 1 - p = 0,97.
Найти: вероятность события:
а) «нет ни одной бракованной»;
б) «ровно одна бракованная».
Решение:
Для нахождения вероятности k успехов (бракованных лампочек) в n испытаниях используется формула биномиального распределения:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),
где C(n, k) — количество сочетаний из n по k, рассчитываемое как:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!).
а) Для k = 0 бракованных:
C(10, 0) = 10! / (0! * (10 - 0)!)
= 10! / (0! * 10!)
= 1.
Теперь вычислим вероятность:
P(X = 0) = C(10, 0) * (0,03)^0 * (0,97)^(10-0)
= 1 * (0,03)^0 * (0,97)^(10)
= 1 * 1 * (0,97)^(10)
= (0,97)^(10)
≈ 0,737818 (округляем до тысячных 0,738).
б) Для k = 1 бракованная:
C(10, 1) = 10! / (1! * (10 - 1)!)
= 10! / (1! * 9!)
= 10.
Теперь вычислим вероятность:
P(X = 1) = C(10, 1) * (0,03)^1 * (0,97)^(10-1)
= 10 * (0,03)^1 * (0,97)^9
= 10 * 0,03 * (0,97)^9
≈ 10 * 0,03 * 0,794665
≈ 10 * 0,02383995
≈ 0,2383995 (округляем до тысячных 0,238).
Ответ:
а) Вероятность того, что в упаковке нет ни одной бракованной лампочки, равна 0,738.
б) Вероятность того, что в упаковке ровно одна бракованная лампочка, равна 0,238.