Дано:
Количество батареек в упаковке n = 8.
Вероятность того, что батарейка неисправна p = 0,025.
Вероятность того, что батарейка исправна q = 1 - p = 0,975.
Найти: вероятность события:
а) «ровно две неисправные»;
б) «одна неисправная».
Решение:
Для нахождения вероятности k успехов (неисправных батареек) в n испытаниях используется формула биномиального распределения:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),
где C(n, k) — количество сочетаний из n по k, рассчитываемое как:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!).
а) Для k = 2 неисправные:
C(8, 2) = 8! / (2! * (8 - 2)!)
= 8! / (2! * 6!)
= (8 * 7) / (2 * 1)
= 28.
Теперь вычислим вероятность:
P(X = 2) = C(8, 2) * (0,025)^2 * (0,975)^(8-2)
= 28 * (0,025)^2 * (0,975)^6
= 28 * 0,000625 * 0,834238
= 28 * 0,000520149
= 0,0145 (округляем до тысячных 0,015).
б) Для k = 1 неисправная:
C(8, 1) = 8! / (1! * (8 - 1)!)
= 8! / (1! * 7!)
= 8.
Теперь вычислим вероятность:
P(X = 1) = C(8, 1) * (0,025)^1 * (0,975)^(8-1)
= 8 * (0,025)^1 * (0,975)^7
= 8 * 0,025 * 0,805387
= 8 * 0,020134675
= 0,1610784 (округляем до тысячных 0,161).
Ответ:
а) Вероятность того, что в упаковке ровно две неисправные батарейки, равна 0,015.
б) Вероятность того, что в упаковке одна неисправная батарейка, равна 0,161.