дано:
количество испытаний n = 10,
вероятность успеха p = 0.3,
вероятность неудачи q = 1 - p = 0.7.
найти:
а) отношение вероятностей событий A «ровно 3 успеха» и B «ровно 4 успеха»;
б) отношение вероятностей событий A «ровно 5 успехов» и B «ровно 6 успехов».
решение:
Вероятность того, что в n испытаниях будет ровно k успехов, вычисляется по формуле:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n - k),
где C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) - биномиальный коэффициент.
1. Для пункта а) найдем P(A) и P(B):
- Вычислим P(A) для k = 3:
C(10, 3) = 10! / (3! * 7!) = 120.
P(A) = C(10, 3) * (0.3)^3 * (0.7)^(10 - 3)
= 120 * (0.3)^3 * (0.7)^7
= 120 * 0.027 * 0.0823543
≈ 120 * 0.002224
≈ 0.266895.
- Вычислим P(B) для k = 4:
C(10, 4) = 10! / (4! * 6!) = 210.
P(B) = C(10, 4) * (0.3)^4 * (0.7)^(10 - 4)
= 210 * (0.3)^4 * (0.7)^6
= 210 * 0.0081 * 0.117649
≈ 210 * 0.000952
≈ 0.199092.
Теперь найдем отношение вероятностей:
P(A) / P(B) ≈ 0.266895 / 0.199092 ≈ 1.340.
2. Для пункта б) найдем P(A) и P(B):
- Вычислим P(A) для k = 5:
C(10, 5) = 10! / (5! * 5!) = 252.
P(A) = C(10, 5) * (0.3)^5 * (0.7)^(10 - 5)
= 252 * (0.3)^5 * (0.7)^5
= 252 * 0.00243 * 0.16807
≈ 252 * 0.000408
≈ 0.102672.
- Вычислим P(B) для k = 6:
C(10, 6) = 10! / (6! * 4!) = 210.
P(B) = C(10, 6) * (0.3)^6 * (0.7)^(10 - 6)
= 210 * (0.3)^6 * (0.7)^4
= 210 * 0.000729 * 0.2401
≈ 210 * 0.000175
≈ 0.03675.
Теперь найдем отношение вероятностей:
P(A) / P(B) ≈ 0.102672 / 0.03675 ≈ 2.79.
ответ:
а) отношение вероятностей событий А и В составляет примерно 1.340;
б) отношение вероятностей событий А и В составляет примерно 2.79.