дано:
n - количество испытаний Бернулли;
p - вероятность успеха в каждом отдельном испытании;
количество успехов в серии испытаний обозначим как k.
найти:
а) границы вероятности успеха p, чтобы наиболее вероятное число успехов k было равно 0;
б) границы вероятности успеха p, чтобы наиболее вероятное число успехов k было равно 1.
решение:
Для нахождения наиболее вероятного числа успехов используем биномиальное распределение. Наиболее вероятное значение k (мода) для n испытаний с вероятностью p описывается следующими условиями:
1) m = np
где m - наиболее вероятное количество успехов.
а) Для случая, когда k = 0:
Наиболее вероятное число успехов равно 0, когда:
np < 1.
То есть, чтобы это условие выполнялось, необходимо:
p < 1/n.
Таким образом, вероятность успеха p должна находиться в пределах:
0 <= p < 1/n.
б) Для случая, когда k = 1:
Наиболее вероятное число успехов равно 1, когда:
1 <= np < 2.
Это дает два неравенства:
1) np >= 1 => p >= 1/n;
2) np < 2 => p < 2/n.
Таким образом, вероятность успеха p должна находиться в пределах:
1/n <= p < 2/n.
ответ:
а) Для наиболее вероятного числа успехов k = 0: 0 <= p < 1/n.
б) Для наиболее вероятного числаsuccesss k = 1: 1/n <= p < 2/n.