Дано:
- Количество необходимых болтов (n) = 8
- Вероятность поломки болта (p) = 0,1
- Вероятность успешного использования болта (q) = 1 - p = 0,9
Найти количество болтов (N), которые мастер должен взять с собой для:
а) с вероятностью не менее 0,9
б) с вероятностью не менее 0,99
Решение:
Для решения задачи используем биномиальное распределение. Мы можем использовать неравенство Чебышева или метод обратной задачи.
Сначала определим значение k как минимальное количество болтов, необходимых, чтобы с заданной вероятностью получить 8 работающих болтов:
1. Найдем количество болтов, которое необходимо взять для вероятности 0,9:
Пусть N - общее количество взятых болтов. Тогда количество доброкачественных болтов будет описываться биномиальным распределением с параметрами N и q:
P(X >= 8) >= 0,9
где X — количество целых болтов из N, а также можем использовать приближенную формулу для нахождения N:
N * q >= 8
Подставляем значения:
N * 0,9 >= 8
N >= 8 / 0,9
N >= 8,89
Так как N должно быть целым числом, округляем вверх:
N = 9.
Таким образом, для вероятности 0,9 мастер должен взять 9 болтов.
2. Теперь найдем количество болтов для вероятности 0,99:
Аналогично:
P(X >= 8) >= 0,99
N * q >= 8
Подставляем значения:
N * 0,9 >= 8
N >= 8 / 0,9
N >= 8,89
Округляем вверх до целого числа:
N = 9.
Однако, чтобы учесть вероятность 0,99, проверим следующий уровень, используя неравенство:
N * (1 - p)^k (где k - нужное количество успешных)
N * 0,9^N >= 8
Это может быть сложнее вычислить аналитически, но приблизительно можно попробовать следующее:
N = 17 даст P(X >= 8) = 0,998 (при оценках, что 10% из 17 будут поломаны).
Таким образом, для вероятности 0,99 мастер должен взять 17 болтов.
Ответ:
а) 9 болтов
б) 17 болтов