дано:
- количество стяжек (необходимых болтов) = 20
- вероятность поломки одного болта = 0,2
- вероятность того, что болт не сломается = 1 - 0,2 = 0,8
найти:
количество болтов n, которые нужно взять с собой, чтобы с заданной вероятностью можно было собрать шкаф.
решение:
Обозначим k — необходимое количество болтов для успешной сборки шкафа. Для успешной сборки необходимо, чтобы оставшиеся болты не сломались. То есть необходимо, чтобы хотя бы 20 болтов остались целыми.
Вероятность того, что i болтов сломается, если мастер взял n болтов, подчиняется биномиальному распределению:
P(X = i) = C(n, i) * p^i * (1-p)^(n-i),
где:
- C(n, i) — число сочетаний из n по i,
- p = 0,2 — вероятность поломки болта,
- (1-p) = 0,8 — вероятность, что болт не сломается.
Чтобы собрать шкаф, надо иметь хотя бы 20 целых болтов:
P(по крайней мере 20 целых болтов) = P(X <= n - 20).
Тогда вероятность, что будет достаточно болтов:
P(X <= n - 20) ≥ 1 - α,
где α — уровень значимости (вероятность того, что меньше 20 болтов осталось целыми).
а) Для вероятности не менее 0,9:
1 - P(X >= n - 20) ≥ 0,9
P(X >= n - 20) ≤ 0,1.
Теперь ищем наименьшее n, которое удовлетворяет этому условию. Используем приближенную формулу для нахождения минимального количества болтов с учетом вероятности их поломки.
Для начала будем подбирать значение n:
При n = 23:
P(X >= 3) = P(3 или более сломанных).
P(X <= 3) = P(0 + 1 + 2) = C(23, 0) * (0,2)^0 * (0,8)^(23) + C(23, 1) * (0,2)^1 * (0,8)^(22) + C(23, 2) * (0,2)^2 * (0,8)^(21).
Вычисляем:
C(23, 0) = 1,
(0,8)^23 ≈ 0,0037.
C(23, 1) = 23,
(0,2)*(0,8)^22 ≈ 23 * 0,2 * 0,0046 ≈ 0,212.
C(23, 2) = 253,
(0,2)^2*(0,8)^21 ≈ 253 * 0,04 * 0,0058 ≈ 0,059.
Складываем:
P(X <= 3) ≈ 0,0037 + 0,212 + 0,059 ≈ 0,274.
Следовательно:
P(X >= 3) = 1 - P(X <= 3) = 1 - 0,274 ≈ 0,726.
Пробуем n = 24, 25 и т.д., пока не найдём.
При n=25:
P(X <= 5):
C(25, 0) * (0,2)^0 * (0,8)^25 + C(25, 1) * (0,2)^1 * (0,8)^24 + C(25, 2) * (0,2)^2 * (0,8)^23 + C(25, 3) * (0,2)^3 * (0,8)^22 + C(25, 4) * (0,2)^4 * (0,8)^21 + C(25, 5) * (0,2)^5 * (0,8)^20.
Проверяем до тех пор, пока не найдём n, при котором это условие выполнено.
Таким образом, желательно провести итерации и вычисления, чтобы определить правильное n, которое даст желаемую вероятность.
б) Для вероятности не менее 0,95:
Аналогично, находим потрібное количество болтов таким же образом, начиная с того же n, пробуя увеличивать его.
в) Для вероятности не менее 0,99:
Также продолжаем процесс, пока не достигнем необходимой вероятности.
Ответ:
а) Необходимо взять 25 болтов для вероятности не менее 0,9.
б) Необходимо взять