Дано:
- Необходимое количество исправных батареек (k) = 4
- Вероятность неисправности батарейки (p) = 0,04
- Вероятность исправной батарейки (q) = 1 - p = 0,96
Найти количество батареек (N), которые турист должен взять с собой, чтобы вероятность наличия хотя бы 4 исправных батареек была не менее 0,95.
Решение:
Используем биномиальное распределение, где N – общее количество взятых батареек, а X – количество исправных батареек.
Нам нужно найти N такое, что:
P(X >= 4) >= 0,95
Это можно переписать как:
1 - P(X < 4) >= 0,95
P(X < 4) <= 0,05
Согласно свойствам биномиального распределения, получаем:
P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
Каждое из этих значений вычисляется по формуле биномиального распределения:
P(X = k) = C(N, k) * q^k * p^(N-k)
где C(N, k) - биномиальный коэффициент, равный N! / (k!(N-k)!).
Теперь подставляем значения для каждого случая до N:
1. Для N = 7:
P(X = 0) = C(7, 0) * 0,96^0 * 0,04^7 = 1 * 1 * 0,0000000016 ≈ 0
P(X = 1) = C(7, 1) * 0,96^1 * 0,04^6 ≈ 7 * 0,96 * 0,000000064 ≈ 0,00000042816
P(X = 2) = C(7, 2) * 0,96^2 * 0,04^5 ≈ 21 * 0,9216 * 0,00000256 ≈ 0,0000462496
P(X = 3) = C(7, 3) * 0,96^3 * 0,04^4 ≈ 35 * 0,884736 * 0,0001024 ≈ 0,0030349568
Теперь суммируем:
P(X < 4) = 0 + 0,00000042816 + 0,0000462496 + 0,0030349568 ≈ 0,00308163456
Так как P(X < 4) < 0,05, это значение подходит.
2. Попробуем увеличить N до 8:
Для N = 8:
P(X = 0) = C(8, 0) * 0,96^0 * 0,04^8 = 0,00000000064 ≈ 0
P(X = 1) = C(8, 1) * 0,96^1 * 0,04^7 = 8 * 0,96 * 0,0000000016 ≈ 0,00000001216
P(X = 2) = C(8, 2) * 0,96^2 * 0,04^6 = 28 * 0,9216 * 0,000000064 ≈ 0,000000188416
P(X = 3) = C(8, 3) * 0,96^3 * 0,04^5 = 56 * 0,884736 * 0,00000256 ≈ 0,000134217728
Теперь суммируем:
P(X < 4) = 0 + 0,00000001216 + 0,000000188416 + 0,000134217728 ≈ 0,000134418304
Так как P(X < 4) < 0,05, это значение тоже подходит.
3. Проверяем N = 9 и N = 10, чтобы убедиться в достаточности:
Для N = 10:
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)< 0,05
Расчеты показывают, что при N=10 вероятностная сумма остается ниже 0,05.
Таким образом, минимальное количество батареек, которое нужно взять, чтобы с вероятностью не менее 0,95 было хотя бы 4 исправные, составляет:
Ответ: 7 батареек.