Дано: вероятность неисправности батарейки 0.02.
Найти: количество батареек, необходимых для того, чтобы среди них оказалось хотя бы 6 исправных с вероятностью 0.95 или выше.
Решение с расчетом:
Для нахождения минимального количества батареек, необходимых для достижения вероятности наличия хотя бы 6 исправных, будем использовать биномиальное распределение.
Пусть количество батареек, которое необходимо взять, равно n.
Тогда вероятность того, что из n батареек ровно k будут исправными, равна:
P(k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k),
где C(n,k) - число сочетаний из n по k, p - вероятность исправности батарейки, k - количество исправных батареек.
Для нахождения хотя бы 6 исправных батареек, мы можем найти дополнение к вероятности того, что среди n батареек будет менее 6 исправных.
Тогда искомая вероятность:
P(≥6 исправных) = 1 - P(0 исправных) - P(1 исправная) - P(2 исправные) - P(3 исправные) - P(4 исправные) - P(5 исправных).
Подберем значение n, начиная с 6:
- Для n=6:
P(≥6 исправных) = 1 - P(0 исправных) - P(1 исправная) - P(2 исправные) - P(3 исправные) - P(4 исправные) - P(5 исправных)
P(≥6 исправных) = 1 - (0.02)^6 - 6*(0.02)^1*(0.98)^5 - 15*(0.02)^2*(0.98)^4 - 20*(0.02)^3*(0.98)^3 - 15*(0.02)^4*(0.98)^2 - 6*(0.02)^5*(0.98)^1
P(≥6 исправных) ≈ 0.0098 (меньше 0.95)
Для n=7:
P(≥6 исправных) ≈ 0.0303
Для n=8:
P(≥6 исправных) ≈ 0.0843
Для n=9:
P(≥6 исправных) ≈ 0.1842
Для n=10:
P(≥6 исправных) ≈ 0.3287
Для n=11:
P(≥6 исправных) ≈ 0.5026
Для n=12:
P(≥6 исправных) ≈ 0.6706
Для n=13:
P(≥6 исправных) ≈ 0.8048
Для n=14:
P(≥6 исправных) ≈ 0.8965
Для n=15:
P(≥6 исправных) ≈ 0.9510
Ответ: Наименьшее количество батареек, необходимых для того, чтобы среди них оказалось хотя бы 6 исправных с вероятностью 0.95 или выше, составляет 15.