Дано:
- Два игрока с равными шансами на победу в каждой партии (вероятность выигрыша каждого игрока = 1/2).
- Победитель определяется, когда один из игроков выигрывает 6 партий.
- Игра прервана при различных счетах.
Найти:
- Отношение, в котором следует разделить приз между игроками, если игра была прервана при следующих счетах:
а) 4 : 3 в пользу первого игрока;
б) 4 : 2 в пользу второго игрока.
Решение:
а) Счет 4 : 3 в пользу первого игрока.
Первый игроку нужно выиграть 2 партии, чтобы стать победителем, а второму — 3 партии. Обозначим шансы победы для первого игрока через P(1), а для второго — P(2).
P(1) можно найти как вероятность того, что первый игрок выиграет 2 партии и не даст второму выиграть 3. Возможные варианты выигрышей представлены следующими событиями:
- Первая партия, которую выиграл первый игрок - P(1) = 1/2
- Вторая партия, которую выиграл первый игрок (при условии, что он выиграл первую) - P(1) = 1/2
- Последний шаг может быть либо выигрышем второго игрока (что отклоняет его шансы к выигрышу), либо выигрышем первого.
Таким образом, P(1) = 1/2 * P(1) + 1/2 * P(2)
Теперь, учитывая, что второй игроку нужно будет выиграть 3 партии (возможно, с произвольным порядком), мы можем записать общее количество возможных последовательностей.
Общее количество партий до конца = C(4+3, 3) = C(7, 3) = 35.
Шансы первого игрока на победу:
P(1) = C(3, 2) / C(7, 3) = 3 / 35.
Шансы второго игрока:
P(2) = C(4, 3) / C(7, 3) = 4 / 35.
Следовательно, отношение:
Отношение = P(1) : P(2) = (3/35) : (4/35) = 3 : 4.
б) Счет 4 : 2 в пользу второго игрока.
В этой ситуации первый игрок должен выиграть 4 партии, а второй — 2. Количество необходимых партий:
Общее количество партий до конца = C(4+4, 4) = C(8, 4) = 70.
Шансы второго игрока на победу:
P(2) = C(4, 2) / C(8, 4) = 6 / 70 = 3 / 35.
Шансы первого игрока:
P(1) = C(4, 4) / C(8, 4) = 1 / 70.
Следовательно, отношение:
Отношение = P(1) : P(2) = (1/70) : (6/70) = 1 : 6.
Ответ:
а) Приз делится в отношении 3 : 4.
б) Приз делится в отношении 1 : 6.