Дано:
- В самолете 2n пассажиров.
- Каждый пассажир с вероятностью 0,5 предпочитает рыбу и с такой же вероятностью — курицу.
- На борт загружено ровно по n порций рыбы и курицы.
Найти:
а) Вероятность того, что недовольным окажется только один пассажир.
б) Наиболее вероятное число недовольных пассажиров.
Решение:
а) Для того чтобы только один пассажир оказался недовольным, необходимо, чтобы:
1. Один из пассажиров выбрал блюдо (рыбу или курицу), которого не оказалось в наличии.
2. Остальные 2n - 1 пассажиров выбрали блюда, которые есть.
Обозначим количество пассажиров, выбравших рыбу, как X. Тогда количество пассажиров, выбравших курицу, будет 2n - X.
Поскольку всего 2n пассажиров и у нас ровно n порций каждого блюда, то недовольство одного пассажира может произойти в следующих случаях:
1. Если один пассажир выбрал рыбу, а все остальные (n) выбрали курицу, то X = n + 1.
2. Если один пассажир выбрал курицу, а все остальные (n) выбрали рыбу, то X = n - 1.
Следовательно, только один пассажир можно считать недовольным, если:
- Один выбрал рыбу, тогда n - 1 остальных должны выбрать курицу.
- Один выбрал курицу, тогда n - 1 остальных должны выбрать рыбу.
Вероятность, что конкретный пассажир выберет рыбу (или курицу), равна 0,5.
Следовательно, вероятность того, что именно один пассажир окажется недовольным:
P(недовольный = 1) = C(2n - 1, n - 1) * (0,5)^(n - 1) * (0,5)^(n) * 2,
где C(2n - 1, n - 1) – число способов выбрать n - 1 пассажиров из 2n - 1.
Мы умножаем на 2, потому что недовольный может быть либо с рыбой, либо с курицей.
P(недовольный = 1) = 2 * C(2n - 1, n - 1) * (0,5)^(2n - 1).
б) Чтобы найти наиболее вероятное число недовольных пассажиров, мы будем использовать биномиальное распределение, которое описывается следующей формулой:
P(X = k) = C(2n, k) * (0,5)^(2n),
где X - число недовольных пассажиров.
Количество недовольных будет максимальным, когда количество выбравших рыбу равно количеству выбравших курицу, т.е. X будет максимально близким к n.
На основе свойств биномиального распределения мы можем сказать, что среднее значение равно n. Следовательно, наиболее вероятное число недовольных пассажиров будет:
k = 1 (если один выбрал против всех) или k = 2n - 1 (если все выбрали одно).
Тогда наиболее вероятное число недовольных пассажиров будет составлять n, так как это точка, где распределение сосредоточено.
Ответ:
а) P(недовольный = 1) = 2 * C(2n - 1, n - 1) * (0,5)^(2n - 1).
б) Наиболее вероятное число недовольных пассажиров = n.