Дано:
- Равносторонний треугольник со стороной длиной a.
- Случайно выбирается точка внутри треугольника.
Найти:
Вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит вписанному в треугольник кругу.
Решение:
1. Найдем площадь равностороннего треугольника.
Площадь S треугольника со стороной a вычисляется по формуле:
S = (sqrt(3) / 4) * a^2.
2. Теперь найдем радиус r вписанного круга для равностороннего треугольника. Радиус вписанного круга равен:
r = a / (2 * sqrt(3)).
3. Найдем площадь вписанного круга. Площадь круга Sкруг с радиусом r вычисляется по формуле:
Sкруг = pi * r^2.
Подставим значение радиуса r:
Sкруг = pi * (a / (2 * sqrt(3)))^2 = pi * (a^2 / 4 * 3) = (pi * a^2) / (12).
4. Теперь найдем вероятность P того, что случайно выбранная точка принадлежит вписанному кругу:
P = Sкруг / S.
Подставляя найденные площади:
P = ((pi * a^2) / 12) / ((sqrt(3) / 4) * a^2) = (pi / 12) / (sqrt(3) / 4) = (pi / 12) * (4 / sqrt(3)) = (4 * pi) / (12 * sqrt(3)) = (pi) / (3 * sqrt(3)).
Ответ:
Вероятность P того, что случайно выбранная точка принадлежит вписанному в треугольник кругу равна (pi) / (3 * sqrt(3)).