Дано:
- Время на часах может быть любым временем в интервале от 0 до 24 часов.
- Остановившиеся часы показывают случайное время.
Найти:
а) Вероятность того, что время, которое показывают остановившиеся часы, отличается от действительного времени не больше чем на 1 ч.
б) Вероятность того, что время, которое показывают остановившиеся часы, отличается от действительного времени меньше чем на 30 мин.
Решение:
а) Для нахождения вероятности того, что время на часах отличается от действительного времени не больше чем на 1 ч:
1. Рассмотрим интервал времени, который удовлетворяет условию:
- Пусть действительное время t. Тогда время на часах должно находиться в интервале [t - 1, t + 1].
2. Если t находится в пределах [1, 23] (что охватывает все возможные случаи, кроме краевых), длина интервала составляет:
- L = (t + 1) - (t - 1) = 2 ч.
3. Если t < 1 (например, 0), то интервал будет [0, 2], а если t > 23, то интервал будет [22, 24]. Таким образом, максимальная длина интервала будет составлять 2 ч в любом случае.
4. Поскольку общее количество возможных часов за одни сутки составляет 24 ч, вероятность P(разница не больше 1 ч):
P(не больше 1 ч) = L / 24 = 2 / 24 = 1/12.
Ответ:
а) Вероятность того, что время, показываемое остановившимися часами, отличается от действительного времени не больше чем на 1 ч равна 1/12.
б) Для нахождения вероятности того, что время, показываемые остановившимися часами, отличается от действительного времени меньше чем на 30 мин:
1. Рассмотрим новый интервал времени, который удовлетворяет условию:
- Пусть действительное время t. Тогда время на часах должно находиться в интервале [t - 0,5, t + 0,5].
2. Длина этого интервала составляет:
- L = (t + 0,5) - (t - 0,5) = 1 ч.
3. Как и ранее, если t < 0,5, интервал будет [0, 1], а если t > 23, интервал будет [23, 24]. Тем не менее, максимальная длина интервала остается равной 1 ч в любом случае.
4. Следовательно, вероятность P(разница меньше 30 мин):
P(меньше 30 мин) = L / 24 = 1 / 24.
Ответ:
б) Вероятность того, что время, показываемое остановившимися часами, отличается от действительного времени меньше чем на 30 мин равна 1/24.