Дано:
- Два друга приходят в условленное место в случайные моменты времени между 12:00 и 13:00 (от 0 до 60 минут).
- Каждый из них ждёт другого 10 минут.
Найти:
Вероятность того, что друзья встретятся при указанных условиях.
Решение:
1. Обозначим время прихода первого друга как X (где X — это время в минутах после 12:00) и время прихода второго друга как Y (где Y также находится в интервале [0, 60]).
2. Чтобы оба друга встретились, необходимо, чтобы один друг пришёл в течение 10 минут после прихода другого. Это можно записать следующими неравенствами:
- Если первый друг пришёл первым (то есть X <= Y), то Y должно быть меньше или равно X + 10.
- Если второй друг пришёл первым (то есть Y < X), то X должно быть меньше или равно Y + 10.
3. Эти условия приводят к двум треугольным областям на графике, где по оси X откладывается время первого друга, а по оси Y — время второго друга.
4. Рисуем квадрат со стороной 60 (время от 0 до 60 минут). Площадь этого квадрата равна 60 * 60 = 3600 квадратных минут.
5. Теперь определим площадь зон, где они могут встретиться.
6. Для ситуации X <= Y:
Условие Y <= X + 10 задает прямую линию с углом наклона 1. Эта прямая пересекает ось Y в точке (0, 10) и ось X в точке (50, 60).
7. Для ситуации Y < X:
Условие X <= Y + 10 задает тоже прямую линию с углом наклона 1. Эта прямая пересекает ось X в точке (10, 0) и ось Y в точке (60, 50).
8. Площадь площади встречи можно найти, рассматривая две треугольные области. Каждая область имеет основание и высоту равные 50 (максимальное расстояние по диагонали между двумя линиями) и 10 (разница между ними).
Площадь одной такой области:
S1 = (1/2) * 50 * 50 = 1250.
9. Так как есть две такие области, общая площадь, где они могут встретиться:
S = 1250 + 1250 = 2500.
10. Вероятность P того, что друзья встретятся:
P = S / (обшая площадь квадрата) = 2500 / 3600 = 25 / 36.
Ответ:
Вероятность того, что друзья встретятся, равна 25/36.