Дано:
- Случайная величина X равна числу бросков до первого попадания в корзину.
- Вероятность попасть в корзину при каждом броске p.
Найти:
а) Вероятность события (X = 6) при p = 0,3;
б) Вероятность события (X = 6) при p = 0,6.
Решение:
Для данной задачи также применяется геометрическое распределение. Вероятность того, что первый успех произойдёт на n-ом испытании, вычисляется по формуле:
P(X = n) = q^(n-1) * p,
где q = 1 - p — вероятность неудачи.
а) Для p = 0,3:
q = 1 - p = 1 - 0,3 = 0,7.
Теперь найдем P(X = 6):
P(X = 6) = q^(6-1) * p,
P(X = 6) = (0,7)^(6-1) * (0,3),
P(X = 6) = (0,7)^5 * (0,3).
Вычислим (0,7)^5:
(0,7)^5 = 0,16807.
Теперь подставим:
P(X = 6) = 0,16807 * 0,3 = 0,050421.
б) Для p = 0,6:
q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4.
Теперь найдем P(X = 6):
P(X = 6) = q^(6-1) * p,
P(X = 6) = (0,4)^(6-1) * (0,6),
P(X = 6) = (0,4)^5 * (0,6).
Вычислим (0,4)^5:
(0,4)^5 = 0,01024.
Теперь подставим:
P(X = 6) = 0,01024 * 0,6 = 0,006144.
Ответ:
а) Вероятность события (X = 6) при p = 0,3 равна 0,050421.
б) Вероятность события (X = 6) при p = 0,6 равна 0,006144.