Дано:
1. Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет пятёрка или шестёрка.
2. Случайная величина X равна количеству сделанных бросков.
Найти: Вероятность события (X < k), где k - целое число.
Решение:
Вероятность выпадения 5 или 6 на одном броске кости равна P(5 или 6) = 2/6 = 1/3.
Вероятность не выпадения 5 или 6 на одном броске равна P(не 5 и не 6) = 1 - P(5 или 6) = 1 - 1/3 = 2/3.
Событие X < k означает, что мы должны выполнить меньше чем k бросков.
Вероятность того, что событие произойдёт за n бросков:
P(X = n) = (2/3)^(n-1) * (1/3).
Таким образом, для нахождения вероятности P(X < k):
P(X < k) = P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = (k-1)).
Хотя это можно записать как:
P(X < k) = Σ(n=1 до k-1) P(X = n)
= Σ(n=1 до k-1) (2/3)^(n-1) * (1/3).
Это геометрическая прогрессия.
Сумма геометрической прогрессии:
S = a / (1 - r), где a - первый член, r - общее отношение.
Тогда:
P(X < k) = (1/3) * Σ(n=0 до k-2) (2/3)^n
= (1/3) * [(1 - (2/3)^(k-1)) / (1 - 2/3)]
= (1/3) * [1 - (2/3)^(k-1)] / (1/3)
= 1 - (2/3)^(k-1).
Ответ: P(X < k) = 1 - (2/3)^(k-1).
---
Теперь перейдем ко второй части задачи.
Дано:
Миша задумывает случайное двузначное число. Случайная величина X равна сумме цифр в задуманном числе.
Найти: Распределение случайной величины X и вероятность события «X делится на 4».
Решение:
Двузначные числа имеют следующий диапазон: от 10 до 99.
Цифры десятков могут принимать значения от 1 до 9, а цифры единиц от 0 до 9.
Сумма цифр X может принимать значения от 1 + 0 = 1 до 9 + 9 = 18.
Теперь найдем распределение случайной величины X.
X = d1 + d2,
где d1 - десятки, d2 - единицы.
Возможные значения для X: от 1 до 18.
Значения X и их вероятности:
- X = 1: 0 способов.
- X = 2: 1 способ (1+1).
- X = 3: 2 способа (1+2, 2+1).
- X = 4: 3 способа (1+3, 2+2, 3+1).
- X = 5: 4 способа (1+4, 2+3, 3+2, 4+1).
- ...
- X = 18: 1 способ (9+9).
Можно составить таблицу значений X и соответствующих количеством способов.
Теперь найдем вероятность события «X делится на 4».
Проверяем значения X, которые делятся на 4:
- X = 4, 8, 12, 16.
Подсчитаем количество способов для каждого из этих значений.
1. X = 4: 3 способа.
2. X = 8: 7 способов.
3. X = 12: 3 способа.
4. X = 16: 0 способов.
Всего способов, чтобы сумма цифр была 4, 8, 12 или 16 = 3 + 7 + 3 + 0 = 13.
Общее количество двузначных чисел = 90 (от 10 до 99).
Следовательно, вероятность события «X делится на 4»:
P(X делится на 4) = Количество благоприятных исходов / Общее количество исходов = 13 / 90.
Ответ: P(X делится на 4) = 13 / 90