Дано:
Количество выстрелов у обоих стрелков: n1 = 6, n2 = 6.
Вероятность попадания первым стрелком: p1 = 0,35.
Вероятность попадания вторым стрелком: p2 = 0,65.
Найти: математическое ожидание и стандартное отклонение числа попаданий для каждого стрелка.
Решение:
а) Математическое ожидание числа попаданий
Для произвольного испытания с вероятностью попадания p и количеством попыток n математическое ожидание E(X) можно вычислить по формуле:
E(X) = n * p.
Для первого стрелка:
E1 = n1 * p1 = 6 * 0,35 = 2,1.
Для второго стрелка:
E2 = n2 * p2 = 6 * 0,65 = 3,9.
Сравниваем математические ожидания:
E1 = 2,1 < E2 = 3,9.
Таким образом, математическое ожидание числа попаданий больше у второго стрелка.
Теперь найдем стандартное отклонение числа попаданий.
Стандартное отклонение для биномиального распределения можно найти по формуле:
σ = √(n * p * (1 - p)).
Для первого стрелка:
σ1 = √(n1 * p1 * (1 - p1)) = √(6 * 0,35 * (1 - 0,35)) = √(6 * 0,35 * 0,65) = √(1,365) ≈ 1,17.
Для второго стрелка:
σ2 = √(n2 * p2 * (1 - p2)) = √(6 * 0,65 * (1 - 0,65)) = √(6 * 0,65 * 0,35) = √(1,365) ≈ 1,17.
Сравниваем стандартные отклонения:
σ1 ≈ 1,17 и σ2 ≈ 1,17.
Таким образом, стандартные отклонения числа попаданий у обоих стрелков одинаковые.
Ответ для случая а):
У второго стрелка математическое ожидание числа попаданий больше, стандартное отклонение числа попаданий у обоих стрелков одинаковое.
б) Можно ли утверждать, что второй стрелок попадёт больше раз, чем первый?
Чтобы оценить вероятность того, что второй стрелок попадет больше раз, чем первый, нужно рассмотреть распределения их попаданий. Оба распределения являются биномиальными:
X1 ~ Binomial(n1, p1) и X2 ~ Binomial(n2, p2).
В данном случае, хотя ожидаемое значение для второго стрелка больше, утверждать, что он обязательно попадет больше, нельзя. Это связано с вероятностным характером событий и возможностью случайных флуктуаций.
Можно использовать метод численного моделирования или статистического тестирования, чтобы определить, насколько вероятно, что X2 > X1, но в общем случае с учетом дисперсий результата такие утверждения делать нельзя без дополнительной информации о распределении.
Ответ для случая б):
Нельзя однозначно утверждать, что второй стрелок попадет больше раз, чем первый, так как это зависит от случайных факторов.