Дано:
Количество монет: n = 20.
Из них одна фальшивая.
Найти: математическое ожидание числа проверок, необходимых для определения фальшивой монеты.
Решение:
Каждую проверку можно рассматривать как случайное событие, где мы выбираем одну из 20 монет и проверяем её на подлинность.
Вероятность того, что мы сразу найдем фальшивую монету при первой проверке:
P(1) = 1/20.
Если мы не нашли фальшивую монету с первой проверки, то остается 19 монет.
Вероятность найти фальшивую монету при второй проверке:
P(2) = 1/19.
Если мы не нашли фальшивую монету со второго раза, остается 18 монет.
Вероятность найти фальшивую монету при третьей проверке:
P(3) = 1/18.
Продолжая в этом же духе, получаем следующие вероятности для каждой проверки до 20-й:
P(k) = 1/(21-k), k = 1, 2, ..., 20.
Теперь, расчет математического ожидания E(X):
E(X) = Σ (k * P(k)), где сумма берется от k=1 до 20.
Подставим известные значения:
E(X) = 1*(1/20) + 2*(1/19) + 3*(1/18) + ... + 20*(1/1).
Теперь вычислим это значение.
E(X) = 1/20 + 2/19 + 3/18 + 4/17 + 5/16 + 6/15 + 7/14 + 8/13 + 9/12 + 10/11 + 11/10 + 12/9 + 13/8 + 14/7 + 15/6 + 16/5 + 17/4 + 18/3 + 19/2 + 20/1.
Посчитаем сумму этих дробей:
E(X) ≈ 1/20 + 0,105 + 0,167 + 0,235 + 0,312 + 0,400 + 0,500 + 0,615 + 0,750 + 0,909 + 1 + 1,333 + 1,625 + 1,750 + 2,142 + 2,666 + 3.200 + 4.25 + 6 + 20
≈ 45,25.
Это значение является приближенным. Существуют более точные методы для расчета данной суммы, но для первого приближения можем принять это значение.
Ответ:
Математическое ожидание числа проверок, необходимых для определения фальшивой монеты, составляет примерно 5,5.