дано:
a2 = 6 (второй член прогрессии)
d = 5 (разность прогрессии)
S_n = 403 (сумма первых n членов)
найти: n.
решение:
Члены арифметической прогрессии можно выразить через первый член (a1):
a2 = a1 + d
Из этого уравнения найдем a1:
6 = a1 + 5
a1 = 6 - 5
a1 = 1
Теперь, зная первый член и разность, можем выразить сумму первых n членов прогрессии. Сумма S_n вычисляется по формуле:
S_n = n/2 * (2a1 + (n - 1) * d)
Подставим известные значения:
403 = n/2 * (2 * 1 + (n - 1) * 5)
Упростим это уравнение:
403 = n/2 * (2 + 5n - 5)
403 = n/2 * (5n - 3)
Умножим обе стороны на 2 для удобства:
806 = n * (5n - 3)
Раскроем скобки:
806 = 5n^2 - 3n
Перепишем уравнение в стандартном виде:
5n^2 - 3n - 806 = 0
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
D = (-3)^2 - 4 * 5 * (-806)
D = 9 + 16120
D = 16129
Теперь найдем корни уравнения:
n = (-b ± sqrt(D)) / (2a)
n = (3 ± sqrt(16129)) / (10)
Вычислим sqrt(16129):
sqrt(16129) = 127
Теперь подставим:
n = (3 ± 127) / 10
Находим два возможных значения n:
1) n = (3 + 127) / 10 = 130 / 10 = 13
2) n = (3 - 127) / 10 = -124 / 10 (отрицательное значение, не подходит)
Таким образом, n может быть только равным 13.
ответ: n = 13.