дано:
a17 = 94 (семнадцатый член прогрессии)
a41 = -2 (сорок первый член прогрессии)
найти: n (количество членов, сумма которых равна нулю).
решение:
Арифметическая прогрессия имеет общее выражение для n-го члена:
a_n = a1 + (n - 1)d
Запишем уравнения для семнадцатого и сорок первого членов:
a17 = a1 + 16d = 94 (1)
a41 = a1 + 40d = -2 (2)
Теперь решим систему уравнений. Из уравнения (1) выразим a1:
a1 = 94 - 16d (3)
Подставим (3) в уравнение (2):
(94 - 16d) + 40d = -2
94 + 24d = -2
24d = -2 - 94
24d = -96
d = -96 / 24
d = -4
Теперь подставим найденное значение d обратно в уравнение (3) для нахождения a1:
a1 = 94 - 16(-4)
a1 = 94 + 64
a1 = 158
Теперь мы знаем первый член a1 и разность d:
a1 = 158, d = -4.
Теперь найдем n, при котором сумма первых n членов S_n равна 0. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
S_n = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)
Для того, чтобы S_n = 0, нужно решить уравнение:
0 = n/2 * (2*158 + (n - 1)(-4))
0 = n/2 * (316 - 4(n - 1))
0 = n/2 * (316 - 4n + 4)
0 = n/2 * (320 - 4n)
Поскольку n ≠ 0 (иначе нет членов прогрессии), можем разделить обе стороны на n/2:
320 - 4n = 0
4n = 320
n = 320 / 4
n = 80
ответ: n = 80.