дано:
a19 = -35 (девятнадцатый член прогрессии)
a37 = 1 (тридцать седьмой член прогрессии)
найти: n (количество членов, сумма которых равна нулю).
решение:
Арифметическая прогрессия имеет общее выражение для n-го члена:
a_n = a1 + (n - 1)d
Запишем уравнения для девятнадцатого и тридцать седьмого членов:
a19 = a1 + 18d = -35 (1)
a37 = a1 + 36d = 1 (2)
Теперь решим систему уравнений. Из уравнения (1) выразим a1:
a1 = -35 - 18d (3)
Подставим (3) в уравнение (2):
(-35 - 18d) + 36d = 1
-35 + 18d = 1
18d = 1 + 35
18d = 36
d = 36 / 18
d = 2
Теперь подставим найденное значение d обратно в уравнение (3) для нахождения a1:
a1 = -35 - 18(2)
a1 = -35 - 36
a1 = -71
Теперь мы знаем первый член a1 и разность d:
a1 = -71, d = 2.
Теперь найдем n, при котором сумма первых n членов S_n равна 0. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
S_n = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)
Для того, чтобы S_n = 0, нужно решить уравнение:
0 = n/2 * (2(-71) + (n - 1)(2))
0 = n/2 * (-142 + 2(n - 1))
0 = n/2 * (-142 + 2n - 2)
0 = n/2 * (2n - 144)
Поскольку n ≠ 0 (иначе нет членов прогрессии), можем разделить обе стороны на n/2:
2n - 144 = 0
2n = 144
n = 144 / 2
n = 72
ответ: n = 72.