дано:
- Функция затрат на производство: q = 0,5x^2 - 2x + 10 (в млн р.)
- Годовая прибыль: π = px - q, где p - цена за единицу продукции, x - объем производства (в тыс. ед.)
- Необходимая суммарная прибыль через три года: не менее 122 млн р.
найти:
наименьшее значение p, при котором суммарная прибыль через три года составит не менее 122 млн р.
решение:
1. Для нахождения максимальной прибыли необходимо найти производственное количество x, при котором прибыль максимальна. Для этого найдем производную π по x и приравняем ее к нулю:
π = px - (0,5x^2 - 2x + 10)
π = px - 0,5x^2 + 2x - 10
2. Найдем производную:
dπ/dx = p - x + 2
3. Приравняем производную к нулю для нахождения критической точки:
p - x + 2 = 0
x = p + 2
4. Подставим x обратно в функцию прибыли:
π = p(p + 2) - (0,5(p + 2)^2 - 2(p + 2) + 10)
Упростим:
π = p(p + 2) - (0,5(p^2 + 4p + 4) - 2p - 4 + 10)
5. Раскроем скобки:
π = p^2 + 2p - (0,5p^2 + 2p + 2 - 2p - 4 + 10)
π = p^2 + 2p - (0,5p^2 + 6)
6. Приведем подобные:
π = 0,5p^2 + 2p - 6
7. Теперь найдем, сколько составит прибыль через три года:
Суммарная прибыль через три года Π = 3π.
8. Запишем условие для прибыли:
3(0,5p^2 + 2p - 6) ≥ 122
9. Упростим:
1,5p^2 + 6p - 18 ≥ 122
1,5p^2 + 6p - 140 ≥ 0
10. Решим квадратное неравенство:
Квадратное уравнение: 1,5p^2 + 6p - 140 = 0
Найдем дискриминант D:
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4*1,5*(-140) = 36 + 840 = 876
11. Найдем корни уравнения:
p = (-b ± √D) / (2a) = (-6 ± √876) / (2*1,5)
p ≈ (-6 ± 29.6) / 3
12. Находим два корня:
p1 ≈ (23.6) / 3 ≈ 7.87
p2 ≈ (-35.6) / 3 (отрицательный корень, не подходит)
13. Таким образом, наименьшее значение p, при котором суммарная прибыль будет не менее 122 млн р., составляет примерно 7.87.
Ответ: наименьшее значение p, при котором суммарная прибыль через три года составит не менее 122 млн р., равно 7.87 тыс. р. за единицу продукции.