дано:
- Функция затрат на производство: q = 0,5x^2 + x + 9 (в млн р.)
- Годовая прибыль: π = px - q, где p - цена за единицу продукции, x - объем производства (в тыс. ед.)
- Необходимая суммарная прибыль через пять лет: не менее 115 млн р.
найти:
наименьшее значение p, при котором суммарная прибыль через пять лет составит не менее 115 млн р.
решение:
1. Для нахождения максимальной прибыли необходимо найти производственное количество x, при котором прибыль максимальна. Для этого найдем производную π по x и приравняем ее к нулю:
π = px - (0,5x^2 + x + 9)
π = px - 0,5x^2 - x - 9
2. Найдем производную:
dπ/dx = p - x - 1
3. Приравняем производную к нулю для нахождения критической точки:
p - x - 1 = 0
x = p - 1
4. Подставим x обратно в функцию прибыли:
π = p(p - 1) - (0,5(p - 1)^2 + (p - 1) + 9)
Упростим:
π = p(p - 1) - (0,5(p^2 - 2p + 1) + p - 1 + 9)
5. Раскроем скобки:
π = p^2 - p - (0,5p^2 - p + 0,5 + p - 1 + 9)
π = p^2 - p - (0,5p^2 + 8,5)
6. Приведем подобные:
π = p^2 - 0,5p^2 - p - 8,5
π = 0,5p^2 - p - 8,5
7. Теперь найдем, сколько составит прибыль через пять лет:
Суммарная прибыль через пять лет Π = 5π.
8. Запишем условие для прибыли:
5(0,5p^2 - p - 8,5) ≥ 115
9. Упростим:
2,5p^2 - 5p - 42,5 ≥ 115
2,5p^2 - 5p - 157,5 ≥ 0
10. Решим квадратное неравенство:
Квадратное уравнение: 2,5p^2 - 5p - 157,5 = 0
Найдем дискриминант D:
D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4*2,5*(-157,5) = 25 + 1575 = 1600
11. Найдем корни уравнения:
p = (-b ± √D) / (2a) = (5 ± √1600) / (2*2,5)
p = (5 ± 40) / 5
12. Находим два корня:
p1 = (45) / 5 = 9
p2 = (-35) / 5 (отрицательный корень, не подходит)
13. Таким образом, наименьшее значение p, при котором суммарная прибыль будет не менее 115 млн р., составляет 9.
Ответ: наименьшее значение p, при котором суммарная прибыль через пять лет составит не менее 115 млн р., равно 9 тыс. р. за единицу продукции.