Question

Смешав 50%-ный и 30%-ный растворы кислоты и добавив 3 кг чистой воды, получили 20%-ный раствор кислоты. Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80%-ного раствора той же кислоты, то получили бы 50%~ный раствор кислоты. Сколько килограммов 50%-ного раствора использовали для получения смеси?

Answer 1

дано:  
- x кг 50%-ного раствора.  
- y кг 30%-ного раствора.  
- добавлено 3 кг чистой воды.  
- итоговый раствор составляет 20%.  
- если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80%-ного раствора, получили бы 50%-ный раствор.

найти:  
- значение x (количество килограммов 50%-ного раствора).

решение:  
1. Сначала составим уравнение для первого случая (добавление 3 кг воды):  
   Общее количество кислоты в смеси:  
   0.5x + 0.3y.  

   Общее количество раствора после добавления воды:  
   x + y + 3.  

   Концентрация кислоты в итоговом растворе должна быть 20%:  
   (0.5x + 0.3y) / (x + y + 3) = 0.2.  

   Умножим обе стороны на (x + y + 3):  
   0.5x + 0.3y = 0.2(x + y + 3).  
   Раскроем скобки:  
   0.5x + 0.3y = 0.2x + 0.2y + 0.6.  
   Приведем подобные:  
   0.5x - 0.2x + 0.3y - 0.2y = 0.6.  
   0.3x + 0.1y = 0.6.  
   Упростим:  
   3x + y = 6. (Уравнение 1)

2. Теперь составим уравнение для второго случая (добавление 3 кг 80%-ного раствора):  
   Общее количество кислоты в смеси:  
   0.5x + 0.3y + 0.8 * 3.  

   Общее количество раствора после добавления 3 кг 80%-ного раствора:  
   x + y + 3 + 3 = x + y + 6.  

   Концентрация кислоты в итоговом растворе должна быть 50%:  
   (0.5x + 0.3y + 2.4) / (x + y + 6) = 0.5.  

   Умножим обе стороны на (x + y + 6):  
   0.5x + 0.3y + 2.4 = 0.5(x + y + 6).  
   Раскроем скобки:  
   0.5x + 0.3y + 2.4 = 0.5x + 0.5y + 3.  
   Приведем подобные:  
   0.3y - 0.5y + 2.4 = 3.  
   -0.2y = 0.6.  
   Упростим:  
   y = -0.6 / -0.2 = 3. (Уравнение 2)

3. Подставим значение y в уравнение 1:  
   3x + 3 = 6.  
   3x = 6 - 3.  
   3x = 3.  
   x = 1.

ответ:  
Использовали 1 килограмм 50%-ного раствора.