дано:
S - сумма кредита (например, S = 1)
r = 0.17 (годовая процентная ставка)
n = 10 лет (срок кредита)
найти:
K - общая сумма выплат заёмщика банку
R - во сколько раз K больше суммы кредита
решение:
Заёмщик выплачивает ежегодно две части:
1. 1/10 от суммы кредита
2. 17% от оставшейся суммы кредита.
Обозначим сумму кредита как S. Таким образом, за каждый год выплаты будут следующими:
1. **Первый год:**
Выплаты = (1/10) * S + r * S = 0.1 * S + 0.17 * S = 0.27 * S
2. **Второй год:**
Оставшаяся сумма кредита = S - (1/10) * S = 0.9 * S
Выплаты = (1/10) * S + r * (0.9 * S) = 0.1 * S + 0.17 * 0.9 * S = 0.1 * S + 0.153 * S = 0.253 * S
3. **Третий год:**
Оставшаяся сумма кредита = 0.9 * S - (1/10) * S = 0.8 * S
Выплаты = (1/10) * S + r * (0.8 * S) = 0.1 * S + 0.17 * 0.8 * S = 0.1 * S + 0.136 * S = 0.236 * S
Процесс продолжается аналогичным образом для остальных 7 лет. Мы можем заметить, что размер выплаты уменьшается с каждым годом на 0.017 * S, так как каждый год заёмщик погашает 1/10 кредита и проценты рассчитываются на всё меньшую часть долга.
Таким образом, формула для выплат в k-ый год будет выглядеть так:
W_k = (1/10) * S + r * ( (10-k)/10 * S )
где k - номер года (k = 1, 2, ..., 10).
Теперь рассчитаем общую сумму выплат K:
K = W_1 + W_2 + ... + W_10
Суммируя все годы, получаем:
K = [(0.27 + 0.253 + 0.236 + ... + (1/10)*S)] * S
Этот ряд является арифметической прогрессией, где первый член a = 0.27 и последний член W_10 = 0.1 * S + r * (0.1 * S) = 0.1 * S + 0.017 * S = 0.117 * S.
Число членов n = 10.
Сумма арифметической прогрессии:
Sum = n / 2 * (a + l), где l - последний член, a - первый член.
K = 10 / 2 * (0.27 + 0.117) * S
K = 5 * (0.387) * S
K = 1.935 * S
Теперь найдём отношение K/S:
K/S = 1.935
ответ:
Сумма, которую выплатит заёмщик банку, больше суммы кредита в 1.935 раза.