дано:
S - сумма кредита (например, S = 1)
r = 0.14 (годовая процентная ставка)
n = 20 лет (срок кредита)
найти:
K - общая сумма выплат заёмщика банку
R - во сколько раз K больше суммы кредита
решение:
Заёмщик выплачивает ежегодно две части:
1. 1/20 от суммы кредита
2. 14% от оставшейся суммы кредита.
Обозначим сумму кредита как S. Таким образом, за каждый год выплаты будут следующими:
1. **Первый год:**
Выплаты = (1/20) * S + r * S = 0.05 * S + 0.14 * S = 0.19 * S
2. **Второй год:**
Оставшаяся сумма кредита = S - (1/20) * S = 0.95 * S
Выплаты = (1/20) * S + r * (0.95 * S) = 0.05 * S + 0.14 * 0.95 * S = 0.05 * S + 0.133 * S = 0.183 * S
3. **Третий год:**
Оставшаяся сумма кредита = 0.95 * S - (1/20) * S = 0.9 * S
Выплаты = (1/20) * S + r * (0.9 * S) = 0.05 * S + 0.14 * 0.9 * S = 0.05 * S + 0.126 * S = 0.176 * S
Процесс продолжается аналогичным образом для остальных 17 лет. Мы можем заметить, что размер выплаты уменьшается с каждым годом на 0.014 * S, так как каждый год заёмщик погашает 1/20 кредита и проценты рассчитываются на всё меньшую часть долга.
Таким образом, формула для выплат в k-ый год будет выглядеть так:
W_k = (1/20) * S + r * ((20-k)/20 * S)
где k - номер года (k = 1, 2, ..., 20).
Теперь рассчитаем общую сумму выплат K:
K = W_1 + W_2 + ... + W_20
Суммируя все годы, получаем:
K = [(0.19 + 0.183 + 0.176 + ... + (1/20)*S)] * S
Этот ряд является арифметической прогрессией, где первый член a = 0.19 и последний член W_20 = (1/20) * S + r * (0 * S) = 0.05 * S.
Число членов n = 20.
Сумма арифметической прогрессии:
Sum = n / 2 * (a + l), где l - последний член, a - первый член.
K = 20 / 2 * (0.19 + 0.05) * S
K = 10 * (0.24) * S
K = 2.4 * S
Теперь найдём отношение K/S:
K/S = 2.4
ответ:
Сумма, которую выплатит заёмщик банку, больше суммы кредита в 2.4 раза.