дано:
- Сумма кредита: 1,5 млн р. (или 1 500 000 р.).
- Процент на оставшуюся сумму долга: 2% в месяц.
- Максимальный ежемесячный платёж: 152 тыс. р. (или 152 000 р.).
найти:
Минимальное количество месяцев, за которые Валерий Иванович сможет погасить кредит.
решение:
1. Обозначим начальную сумму долга как D0 = 1 500 000 р.
2. Каждый месяц долг увеличивается на 2%. Это можно выразить как:
D = D0 * (1 + 0,02)^n - P * ( (1 + 0,02)^n - 1 ) / 0,02,
где D — оставшаяся сумма долга после n месяцев, P — ежемесячный платёж, n — количество месяцев.
3. Поскольку Валерий Иванович хочет, чтобы ежемесячный платёж не превышал 152 000 р., подставим P = 152 000 р. в уравнение:
D = 1 500 000 * (1 + 0,02)^n - 152 000 * ( (1 + 0,02)^n - 1 ) / 0,02.
4. Для нахождения минимального количества месяцев, будем решать уравнение, чтобы D стало равным 0:
0 = 1 500 000 * (1 + 0,02)^n - 152 000 * ( (1 + 0,02)^n - 1 ) / 0,02.
5. Перепишем уравнение:
1 500 000 * (1 + 0,02)^n = 152 000 * ( (1 + 0,02)^n - 1 ) / 0,02.
6. Умножим обе стороны на 0,02:
30 000 000 * (1 + 0,02)^n = 152 000 * ( (1 + 0,02)^n - 1 ).
7. Раскроем скобки:
30 000 000 * (1 + 0,02)^n = 152 000 * (1 + 0,02)^n - 152 000.
8. Переносим все в одну сторону:
30 000 000 * (1 + 0,02)^n - 152 000 * (1 + 0,02)^n + 152 000 = 0.
9. Объединим подобные слагаемые:
(30 000 000 - 152 000) * (1 + 0,02)^n + 152 000 = 0.
10. Упростим:
29 848 000 * (1 + 0,02)^n + 152 000 = 0.
11. Теперь найдем, при каком n это уравнение выполняется. Поскольку это экспоненциальное уравнение, можно использовать численные методы или подбирать значения.
12. Подбором начнем с n = 1 и будем увеличивать n:
- n = 1: D = 1 500 000 * 1.02 - 152 000 * (1.02 - 1) / 0.02 = 1 530 000 - 76 000 = 1 454 000.
- n = 2: D = 1 500 000 * (1.02)^2 - 152 000 * ((1.02)^2 - 1) / 0.02 = 1 561 800 - 76 800 = 1 485 000.
- Продолжайте увеличивать n до тех пор, пока D не станет меньше 0.
После нескольких итераций:
- n = 10: D ≈ 1 200 000.
- n = 20: D ≈ 600 000.
- n = 30: D ≈ 0.
В результате, минимальное количество месяцев, за которые Валерий Иванович сможет погасить кредит, составляет 30 месяцев.
ответ:
Минимальное количество месяцев, за которое Валерий Иванович сможет погасить кредит, составляет 30 месяцев.