дано:
Нам нужны правильные дроби a/b, где a и b — это двухзначные числа (состоящие из ненулевых цифр) и существует возможность "сократить" их путем удаления одинаковых цифр.
найти:
Все правильные дроби, которые можно сократить, и которые дают верные равенства.
решение:
1) Обозначим числитель как a = 10*x + y и знаменатель как b = 10*z + w, где x, y, z, и w - ненулевые цифры от 1 до 9.
2) Чтобы дробь была правильной, необходимо, чтобы a < b.
3) Для сокращения дроби нужно, чтобы одна из цифр в числителе совпадала с одной из цифр в знаменателе. То есть:
x = z или x = w или y = z или y = w.
4) Рассмотрим случай, когда x = z (сокращаем первую цифру):
(10*x + y) / (10*x + w) = y / w
Умножаем обе стороны на (10*x + w):
10*x + y = (y * (10*x + w)) / w
10*x*y + y*w = 10*x*y + y*w
Это всегда будет верно, поэтому продолжаем искать конкретные значения.
5) Теперь рассмотрим случай, когда y = w (сокращаем вторую цифру):
(10*x + y) / (10*z + y) = (10*x + y) / (10*z + y)
Данная форма также будет верна.
6) Теперь подберем конкретные примеры, проверяя все возможные двухзначные дроби a/b, где a < b:
- Начнем с a = 10, 11, ..., 99 и проверим каждую пару a и b от (a+1) до 99.
7) Например, рассмотрим дробь 21/42:
2 = 2, 1 = 1; сокращаем 21/42 = 2/4 (верно).
8) Пройдемся по всем парам для получения всех возможных результатов:
- 10/20 -> 1/2
- 12/24 -> 1/2
- 15/30 -> 1/2
- 20/40 -> 2/4
- 25/50 -> 2/4
- 30/60 -> 3/6
- 35/70 -> 3/7
- 40/80 -> 4/8
- 45/90 -> 4/8
- 36/72 -> 3/6
- 49/98 -> 4/8
- и так далее.
9) Проверяем все дроби на возможность сокращения, фиксируя результаты.
ответ:
Правильные дроби, которые можно "сокращать", включают:
21/42 = 2/4
12/24 = 1/2
15/30 = 1/2
30/60 = 3/6
36/72 = 3/6
49/98 = 4/8
и другие аналогичные дроби.