дано:
пусть a, b и c — три натуральных числа.
по условию задачи известно, что:
1/a + 1/b + 1/c = 1.
найти:
значения натуральных чисел a, b, c.
решение:
1. Умножим оба члена уравнения на abc для избавления от дробей:
bc + ac + ab = abc.
2. Перепишем уравнение:
abc - ab - ac - bc = 0.
3. Это уравнение можно рассматривать как уравнение относительно одного из чисел. Для простоты, предположим, что a – наименьшее число. Пусть a = 1 (это самое маленькое натуральное число).
4. Подставляем a в уравнение:
1/b + 1/c + 1 = 1
=> 1/b + 1/c = 0.
5. Так как b и c должны быть также натуральными числами, давайте проверим случай, когда b = 2:
1/2 + 1/c + 1 = 1
=> 1/c = 1 - 1/2 = 1/2
=> c = 2.
6. Таким образом, если a = 1, b = 2, c = 2, то:
1/1 + 1/2 + 1/2 = 1 + 0.5 + 0.5 = 2 (неподходит).
7. Проверим следующий вариант: пусть a = 2.
Подставляем:
1/2 + 1/b + 1/c = 1
=> 1/b + 1/c = 1/2.
8. Аналогично, умножаем на bc:
c + b = (bc)/2.
9. Теперь предположим, что b = 3:
c + 3 = (3c)/2
=> 2c + 6 = 3c
=> c = 6.
10. Теперь у нас есть возможные числа:
a = 2, b = 3, c = 6.
11. Проверяем:
1/2 + 1/3 + 1/6 = 3/6 + 2/6 + 1/6 = 6/6 = 1.
ответ:
натуральные числа — 2, 3, 6.