Известно, что сумма первых п членов геометрической прогрессии, состоящей из положительных чисел, равна S, а сумма обратных величин первых п членов этой прогрессии равна R. Найдите произведение первых п членов этой прогрессии.
от

1 Ответ

дано:  
Сумма первых p членов геометрической прогрессии, состоящей из положительных чисел, равна S.  
Сумма обратных величин первых p членов этой прогрессии равна R.  

Обозначим первый член прогрессии как a, а общий знаменатель прогрессии как q.

найти:  
Произведение первых p членов геометрической прогрессии.  

решение:  
1. Сумма первых p членов геометрической прогрессии определяется формулой:

S = a(1 - q^p) / (1 - q), при q ≠ 1.

2. Сумма обратных величин первых p членов прогрессии будет равна:

R = 1/a + 1/(aq) + 1/(aq^2) + ... + 1/(aq^(p-1))
= (1/a)(1 + 1/q + 1/q^2 + ... + 1/q^(p-1))
= (1/a)((1 - (1/q^p)) / (1 - 1/q))
= (1/a)((q^p - 1) / (q^p(1 - q))).

3. Перепишем выражение для R:

R = (q^p - 1) / (a(q^p - 1))
=> R = 1/a(1 - q^p)/(1 - q).

4. Теперь выразим a из уравнения для S:

S(1 - q) = a(1 - q^p)
=> a = S(1 - q) / (1 - q^p).

5. Подставляем a в выражение для R:

R = (1 - q^p) / (S(1 - q) / (1 - q^p))(1 - q)
=> R = (1 - q^p)^2 / (S(1 - q)).

6. Из этого уравнения можно выразить (1 - q):

(1 - q) = (1 - q^p)^2 / (RS).

7. Произведение первых p членов геометрической прогрессии равно:

P = a * aq * aq^2 * ... * aq^(p-1)
= a^p * q^(0 + 1 + 2 + ... + (p-1))
= a^p * q^(p(p-1)/2).

8. Теперь подставим значение a:

P = (S(1 - q) / (1 - q^p))^p * q^(p(p - 1)/2).

9. Упростим произведение:

P = (S^p * (1 - q)^p) / (1 - q^p)^p * q^(p(p - 1)/2).

Таким образом, найдено произведение первых p членов геометрической прогрессии через S и R.

ответ:  
Произведение первых p членов этой прогрессии равно S^p * (1 - q)^p / (1 - q^p)^p * q^(p(p - 1)/2).
от