дано:
параболы описываются функцией y = x^2 + px + q, где p и q — параметры этих функций. По условию известно, что p + q = 2002.
найти:
доказать, что параболы пересекаются в одной точке.
решение:
1. Рассмотрим две параболы с параметрами (p1, q1) и (p2, q2), которые можно записать как:
y1 = x^2 + p1x + q1,
y2 = x^2 + p2x + q2.
2. Используя данное условие, мы можем выразить q1 и q2 через p1 и p2:
q1 = 2002 - p1,
q2 = 2002 - p2.
3. Подставим q1 и q2 в уравнения:
y1 = x^2 + p1x + (2002 - p1) = x^2 + p1x + 2002 - p1,
y2 = x^2 + p2x + (2002 - p2) = x^2 + p2x + 2002 - p2.
4. Упростим обе функции:
y1 = x^2 + (p1 - p1)x + 2002 = x^2 + 2002,
y2 = x^2 + (p2 - p2)x + 2002 = x^2 + 2002.
5. Теперь приравняем y1 и y2:
x^2 + 2002 = x^2 + 2002.
6. Мы видим, что оба уравнения равны для любого значения x, следовательно, у них нет переменной зависимости между p и q, и они совпадают во всех точках.
7. Однако важно рассмотреть задачу о пересечении в одной точке. Для этого рассмотрим уравнение:
x^2 + p1x + (2002 - p1) = x^2 + p2x + (2002 - p2).
8. Сократим на x^2 и перенесем все в одну сторону:
(p1 - p2)x + (p2 - p1) = 0.
9. Упрощаем уравнение:
(p1 - p2)x = p1 - p2.
10. Если p1 ≠ p2, то можно разделить обе стороны на (p1 - p2):
x = 1.
11. Таким образом, если p1 ≠ p2, то обе параболы пересекаются в точке x = 1.
12. Если p1 = p2, то q1 и q2 также равны, и обе параболы совпадают, пересекаясь в бесконечном числе точек.
ответ:
параболы, являющиеся графиками функций, пересекаются в одной точке (x=1) или совпадают, если p1 = p2.