Дано:
Квадратное уравнение: x² + px + q = 0
Коэффициенты p и q увеличивают на 1 четыре раза.
Найти:
Пример исходного уравнения (x² + px + q = 0), чтобы все пять полученных уравнений имели целые корни.
Решение:
По теореме Виета: для квадратного уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна -p, а произведение корней равно q.
Рассмотрим последовательность уравнений:
x² + px + q = 0
x² + (p+1)x + (q+1) = 0
x² + (p+2)x + (q+2) = 0
x² + (p+3)x + (q+3) = 0
x² + (p+4)x + (q+4) = 0
Заметим, что для того, чтобы корни были целыми, нужно чтобы значения p и q были такими, чтобы суммы и произведения корней каждого уравнения были целыми числами.
Исходя из этого, рассмотрим случай, когда p и q - целые числа, которые отличаются на 1.
Например, p = 3, q = 2.
Проверим, будут ли корни уравнений целыми:
x² + 3x + 2 = 0 (корни -1 и -2)
x² + 4x + 3 = 0 (корни -1 и -3)
x² + 5x + 4 = 0 (корни -1 и -4)
x² + 6x + 5 = 0 (корни -1 и -5)
x² + 7x + 6 = 0 (корни -1 и -6)
Видим, что в этом случае все уравнения имеют целые корни.
Ответ:
Исходное уравнение x² + 3x + 2 = 0 удовлетворяет условиям задачи.