дано:
Квадратные уравнения ax^2 + bx + c = 0 и bx^2 + cx + a = 0 имеют общий корень. a, b и c — отличные от нуля числа.
найти:
Общий корень этих уравнений.
решение:
1. Пусть общий корень обозначим как x0. Тогда он удовлетворяет обоим уравнениям:
ax0^2 + bx0 + c = 0 (1)
bx0^2 + cx0 + a = 0 (2)
2. Из первого уравнения выразим c:
c = -ax0^2 - bx0
3. Подставим полученное значение c во второе уравнение (2):
b * x0^2 + (-ax0^2 - bx0) * x0 + a = 0,
что можно переписать как:
b * x0^2 - ax0^3 - bx0^2 + a = 0.
4. Упрощая это уравнение, получаем:
(-ax0^3 + (b - b)x0^2 + a = 0),
или
-ax0^3 + a = 0.
5. Факторизуем уравнение:
a(1 - x0^3) = 0.
6. Поскольку a не равно нулю, то:
1 - x0^3 = 0,
откуда:
x0^3 = 1.
7. Таким образом, решая это уравнение, находим:
x0 = 1.
ответ:
Общий корень равен 1.