Дано: необходимо найти такие натуральные числа a, b и c, чтобы у каждого из следующих уравнений оба корня были целыми:
1. ax^2 + bx + c = 0
2. ax + b - c = 0
3. ax^2 - bx + c = 0
4. ax^2 - bx - c = 0
Нужно найти такие a, b и c.
Решение:
1. Рассмотрим первое уравнение:
ax^2 + bx + c = 0
Для того чтобы оба корня были целыми, дискриминант D должен быть квадратом целого числа.
D = b^2 - 4ac должно быть >= 0 и D = k^2 для некоторого целого k.
2. Переходим ко второму уравнению:
ax + b - c = 0
Здесь мы можем выразить x как:
x = (c - b) / a
Чтобы x был целым, c - b должно делиться на a.
3. Третье уравнение:
ax^2 - bx + c = 0
Дискриминант D = (-b)^2 - 4ac = b^2 - 4ac также должен быть квадратом целого числа, аналогично первому уравнению.
4. Четвертое уравнение:
ax^2 - bx - c = 0
Дискриминант D = (-b)^2 - 4a(-c) = b^2 + 4ac тоже должен быть квадратом целого числа.
Теперь проанализируем условия, при которых все четыре уравнения имеют целые корни.
Для выбора конкретных значений можно попробовать взять a = 1 и проверить различные комбинации для b и c.
Попробуем a = 1, b = 5, c = 6:
1. Уравнение 1:
1x^2 + 5x + 6 = 0
D = 5^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1 (1 является квадратом целого числа), корни:
x1 = (-5 + 1)/2 = -2, x2 = (-5 - 1)/2 = -3.
Оба корня не являются натуральными.
2. Уравнение 2:
1x + 5 - 6 = 0
1x = 1 => x = 1 (целый).
3. Уравнение 3:
1x^2 - 5x + 6 = 0
D = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1, корни:
x1 = (5 + 1)/2 = 3, x2 = (5 - 1)/2 = 2. (оба целые).
4. Уравнение 4:
1x^2 - 5x - 6 = 0
D = (-5)^2 - 4 * 1 * (-6) = 25 + 24 = 49, корни:
x1 = (5 + 7)/2 = 6, x2 = (5 - 7)/2 = -1. (недостаток одного целого корня).
Таким образом, видно, что не удается подобрать такие числа, чтобы удовлетворяли все условия.
Ответ: таких натуральных чисел a, b и c не существует.