Дано: уравнение x^2 + ax + b = 0, один из корней равен 1 + √3. Необходимо найти значения a и b, при условии что они рациональны.
Найти: a и b.
Решение:
Пусть корни уравнения будут r1 = 1 + √3 и r2. По свойству корней квадратного уравнения можем записать:
r1 + r2 = -a (сумма корней)
r1 * r2 = b (произведение корней)
Известно, что r1 = 1 + √3. Чтобы a и b были рациональными, r2 также должно быть рациональным.
Выразим r2 через r1:
r2 = -a - r1
Теперь давайте найдем произведение корней. Если r2 - это второй корень, то мы можем выразить его как:
r2 = 1 - √3, поскольку сумма корней должна быть целым числом.
Теперь подставим известные корни в формулы.
Сначала найдем сумму корней:
r1 + r2 = (1 + √3) + (1 - √3) = 2
Следовательно, -a = 2, откуда a = -2.
Теперь найдем произведение корней:
r1 * r2 = (1 + √3)(1 - √3) = 1^2 - (√3)^2 = 1 - 3 = -2.
Таким образом, b = -2.
Ответ: a = -2, b = -2.