Question

Из Цветочного города в Солнечный ведёт шоссе длиной 12 км. На втором километре этого шоссе расположен железнодорожный переезд, который три минуты закрыт и три минуты открыт и т. д., а на четвёртом и на шестом километрах расположены светофоры, у которых две минуты горят красные сигналы и три минуты — зелёные и т. д. Незнайка выезжает из Цветочного города в Солнечный в тот момент, когда переезд только что закрылся, а оба светофора только что переключились на красный. За какое наименьшее время (в минутах) он сможет доехать до Солнечного города, не нарушая правил, если его электромобиль едет по шоссе с постоянной скоростью (Незнайка не умеет ни тормозить, ни увеличивать скорость)?

Answer 1

Дано:
L = 12 км
t_п = 3 мин - время закрытия переезда
t_с = 2 мин - время горения красного сигнала светофора
t_з = 3 мин - время горения зеленого сигнала светофора

Найти:
t - минимальное время в пути Незнайки (в минутах)

Решение:
Определим минимальное время прохождения переезда:

Незнайка въезжает на переезд, когда он закрыт.
Минимальное время ожидания на переезде - 3 минуты.
Определим время прохождения первого светофора:

Незнайка подъезжает к первому светофору, когда он красный.
Он должен прождать минимум 2 минуты, чтобы светофор стал зеленым.
Определим время прохождения второго светофора:

Незнайка подъезжает ко второму светофору через 2 километра после первого.
Если он проехал первый светофор за минимальное время (3 минуты), то ко второму светофору он подъедет за 2 км / v * 60 мин/ч = 120/v минут.
Если 120/v < 3 (т.е. Незнайка проезжает 2 км менее чем за 3 минуты), то он подъедет ко второму светофору, когда тот будет уже в зеленом режиме.
Если 120/v > 3, то он подъедет ко второму светофору в момент его переключения на красный и должен будет прождать 2 минуты.
Определим минимальное время в пути:

t = t_п + t_с + (L - 4 км)/v * 60 мин/ч = 3 + 2 + 8/v * 60 = 5 + 480/v
Если 120/v > 3, то t = 5 + 2 + 8/v * 60 = 7 + 480/v
Чтобы найти минимальное время, нам нужно учесть оба сценария.
Найдем минимальное время, учитывая, что скорость Незнайки не известна:

В обоих случаях время в пути зависит от скорости.
Чтобы получить минимальное время, мы должны минимизировать значение 480/v, которое стремится к 0 при увеличении скорости.

Ответ:
Незнайка сможет добраться до Солнечного города за минимальное время, равное 5 минутам, если скорость его электромобиля будет очень большой.