дано:
Треугольник ABC равнобедренный, где AC = BC.
Высота CH = 12 (из вершины C на основание AB).
Длина стороны AB = 18.
Найти:
Длину стороны AC (или BC).
Решение:
1. Обозначим длину стороны AC как x. Поскольку треугольник равнобедренный, то BC также равно x.
2. Высота CH делит сторону AB на два отрезка: AH и BH. Обозначим AH = m и BH = n. Так как AH + BH = AB, получаем:
m + n = 18.
3. Поскольку CH является высотой, в прямоугольном треугольнике AHC можно использовать теорему Пифагора:
AC^2 = AH^2 + CH^2.
x^2 = m^2 + 12^2.
Аналогично, в прямоугольном треугольнике BHC также имеем:
BC^2 = BH^2 + CH^2.
x^2 = n^2 + 12^2.
4. У нас есть две равенства для x^2:
x^2 = m^2 + 144 (где 12^2 = 144)
x^2 = n^2 + 144.
5. Так как m + n = 18, выразим n через m:
n = 18 - m.
6. Подставляем значение n в уравнение:
x^2 = (18 - m)^2 + 144.
7. Теперь у нас два уравнения для x^2:
x^2 = m^2 + 144
x^2 = (18 - m)^2 + 144.
8. Приравниваем правые части:
m^2 + 144 = (18 - m)^2 + 144.
9. Убираем 144 с обеих сторон:
m^2 = (18 - m)^2.
10. Раскрываем скобки:
m^2 = 324 - 36m + m^2.
11. Упрощаем уравнение:
0 = 324 - 36m.
12. Переносим все в одну сторону и решаем:
36m = 324,
m = 9.
13. Значит, AH = 9 и BH = 18 - 9 = 9.
14. Теперь подставим значение m в одно из уравнений для x^2:
x^2 = m^2 + 144,
x^2 = 9^2 + 144,
x^2 = 81 + 144,
x^2 = 225.
15. Найдем x:
x = √225,
x = 15.
Ответ:
Длина стороны AC (и BC) равна 15.