Дано:
AC = 4
AB = BC = 6
Найти:
KM
Решение:
Обозначим точку пересечения биссектрис AK и CM как точку O. Так как треугольник ABC - равнобедренный, то биссектриса AK является медианой и высотой, а значит точка O - центр вписанной окружности треугольника ABC.
Поскольку AM является биссектрисой угла A, то треугольники AMO и ACO подобны по двум углам, значит соотношение сторон:
AM / AC = MO / OC
Так как AM = AC (так как AB = BC), то MO = OC. Аналогично получаем, что AO = BO.
Из этого следует, что треугольник OMB - равнобедренный, так как OB = OM, и точка O лежит на биссектрисе BM, значит угол BOM = угол OBM.
Так как в равнобедренном треугольнике ABC медиана AM также является высотой, то MO - высота в прямоугольном треугольнике AOM.
Из свойств прямоугольных треугольников можно записать:
AO^2 + OM^2 = AM^2
AO^2 + MO^2 = OA^2
С учетом равенства сторон треугольника АВС и равнобедренности треугольника ОМВ, можем найти длину стороны ОМ.
Рассмотрим прямоугольные треугольники:
AO^2 + MO^2 = OA^2
Определим AO через теорему Пифагора в треугольнике АВС:
AO = sqrt(AB^2 - BO^2)
AO = sqrt(36 - 9) = sqrt(27) = 3sqrt(3)
Теперь запишем уравнение для треугольника ОМВ:
(3sqrt(3))^2 + MO^2 = 6^2
27 + MO^2 = 36
MO^2 = 9
MO = 3
Таким образом, длина КМ равна 3.
Ответ:
KM = 3