Question

Точка М — середина основания ВС равнобедренного треугольника ABC. На стороне АН выбрана точка Р, а на стороне АС — точка Q таким образом, что ∠РМВ = ∠QMC. Докажите, что:
a) BQ = СР; б) ∠APC = ∠AQB.

Answer 1

дано:

- Равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC.
- М — середина основания BC.
- На стороне AB выбрана точка P, на стороне AC — точка Q такие, что ∠PMB = ∠QMC.

Найти:

a) Доказать, что BQ = CP.

б) Доказать, что ∠APC = ∠AQB.

Решение:

a)

1. Рассмотрим треугольники BMC и PMC.
2. У нас есть равные углы:
   ∠PMB = ∠QMC (по условию).
3. Сторона MB является общей для обоих треугольников.
4. Поскольку M — середина BC, то BM = MC.
5. Таким образом, по критерию равенства треугольников по двум углам и стороне (SAS):
   ∆BMC ≅ ∆PMC.
6. Следовательно, соответствующие стороны равны:
   BQ = CP.

Доказано: BQ = CP.

б)

1. Теперь рассмотрим углы ∠APC и ∠AQB.
2. Мы уже знаем, что треугольники BMC и PMC равны.
3. Поэтому:
   ∠APC = ∠BMC и ∠AQB = ∠CMB.
4. Поскольку BMC и CMB — это углы в равнобедренном треугольнике ABC, и они равны:
   ∠BMC = ∠CMB.
5. Следовательно, ∠APC = ∠AQB.

Доказано: ∠APC = ∠AQB.

Ответ:
a) BQ = CP.
б) ∠APC = ∠AQB.