дано:
- Окружности с центрами в точках O1 и O2 пересекаются в точках A и B.
- Точки O1 и O2 лежат:
а) по одну сторону от прямой AB;
б) по разные стороны от прямой AB.
найти:
Доказать, что прямые AB и O1O2 перпендикулярны.
решение:
1. Обозначим радиусы окружностей:
r1 = расстояние O1A = расстояние O1B (радиус первой окружности).
r2 = расстояние O2A = расстояние O2B (радиус второй окружности).
2. Поскольку точки A и B являются точками пересечения окружностей, то выполняется равенство:
O1A = O1B (равенство радиусов) и O2A = O2B (равенство радиусов).
3. Рассмотрим треугольники O1AB и O2AB.
- В этих треугольниках:
O1A = O1B и O2A = O2B.
4. Теперь рассмотрим два случая.
а) Если точки O1 и O2 лежат по одну сторону от прямой AB:
- Проведем перпендикуляры из точек O1 и O2 на прямую AB, которые встретятся в некоторой точке C (на прямой AB).
- Поскольку треугольники O1AC и O2BC имеют общие стороны AC и BC, а также углы O1AC и O2BC равны (так как O1 и O2 находятся по одну сторону от AB), то по критерию равенства треугольников по двум сторонам и углу (SAS) треугольники O1AC и O2BC равны.
- Это означает, что угол O1AB равен углу O2BA, следовательно, прямая O1O2 перпендикулярна прямой AB.
б) Если точки O1 и O2 лежат по разные стороны от прямой AB:
- Также проведем перпендикуляры из O1 и O2 на AB.
- Поскольку O1 и O2 находятся по разные стороны от AB, угол O1AB и угол O2BA образуют прямой угол, когда мы рассматриваем треугольники O1AB и O2AB.
- Таким образом, угол между O1O2 и AB остается равным 90 градусам.
ответ:
В обоих случаях: прямые AB и O1O2 перпендикулярны.