дано:
- Точки A (x1, y1) и B (x2, y2) — концы отрезка AB.
- Точка X (x, y), которая равномерно удалена от точек A и B, то есть AX = BX.
найти:
Доказать, что точка X лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
решение:
1. По определению, если точка X одинаково удалена от A и B, то выполняется следующее уравнение:
AX = BX.
2. Запишем выражения для расстояний AX и BX:
AX = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2),
BX = sqrt((x - x2)^2 + (y - y2)^2.
3. Условие равенства расстояний можно записать как:
sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2) = sqrt((x - x2)^2 + (y - y2)^2).
4. Для избавления от квадратного корня возведем обе стороны уравнения в квадрат:
(x - x1)^2 + (y - y1)^2 = (x - x2)^2 + (y - y2)^2.
5. Раскроем обе стороны уравнения:
x^2 - 2xx1 + x1^2 + y^2 - 2yy1 + y1^2 = x^2 - 2xx2 + x2^2 + y^2 - 2yy2 + y2^2.
6. Сократим одинаковые члены (x^2 и y^2):
-2xx1 + x1^2 - 2yy1 + y1^2 = -2xx2 + x2^2 - 2yy2 + y2^2.
7. Перепишем уравнение:
2x(x2 - x1) + 2y(y2 - y1) = x2^2 - x1^2 + y2^2 - y1^2.
8. Поскольку точка M является серединой отрезка AB, значения координат M будут:
M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2).
9. Вектор AB можно представить как (x2 - x1, y2 - y1). Серединный перпендикуляр будет перпендикулярен этому вектору.
10. Это означает, что векторы AM и BM (где M — середина отрезка) имеют одинаковую длину и создают прямые углы с вектором AB.
11. Поэтому, если точка X удовлетворяет условию AX = BX, она должна находиться на серединном перпендикуляре, который проходит через M и перпендикулярен отрезку AB.
ответ:
Каждая точка X, одинаково удалённая от точек A и B, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.