дано:
Равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. На продолжении стороны BC за точку C отложен отрезок CD, равный AC. Известно, что AD = AB.
найти:
Углы треугольника ABC.
решение:
1. Обозначим угол ∠CAB как α и угол ∠ABC как β. Так как треугольник ABC равнобедренный, то:
β = ∠ACB.
2. Угол при вершине A можно выразить через углы треугольника ABC:
∠CAB + 2∠ABC = 180°,
или α + 2β = 180°.
3. Теперь рассмотрим треугольник ACD. В этом треугольнике:
AD = AB (по условию),
CD = AC (по условию).
4. Поскольку AD = AB и CD = AC, тогда треугольник ACD также является равнобедренным, и его углы:
∠CAD = ∠CDA.
5. В треугольнике ACD сумма углов равна 180°:
∠CAD + ∠CDA + ∠ACD = 180°.
6. Обозначим угол ∠CAD как γ. Тогда:
2γ + ∠ACD = 180°.
7. Так как CD = AC, угол ∠ACD равен углу ∠ABC (равные противолежащие углы):
∠ACD = β.
8. Подставляя в уравнение, получаем:
2γ + β = 180°.
9. Теперь выразим γ через β:
γ = (180° - β) / 2.
10. Мы имеем две системы уравнений:
α + 2β = 180° (1)
(180° - β) / 2 + β = 90° (2).
11. Упрощаем уравнение (2):
(180° - β) + 2β = 180°,
180° + β = 180°,
β = 0°, что невозможно.
12. Следовательно, необходимо использовать равенство углов в равнобедренном треугольнике. Так как треугольники ABC и ACD равнобедренные, можем заключить, что:
α = β.
13. Подставляем значение в уравнение (1):
α + 2α = 180°,
3α = 180°,
α = 60°.
14. Теперь подставляем значение α в β:
β = α = 60°.
ответ:
Углы треугольника ABC равны: ∠CAB = 60°, ∠ABC = 60°, ∠ACB = 60°.