дано:
- треугольник ABC.
- медианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке M.
- AC = 3MB.
найти: доказать, что треугольник ABC является прямоугольным.
решение:
1. Обозначим длины сторон треугольника:
- AB = c,
- BC = a,
- AC = b.
2. Из условия задачи известно, что AC = 3MB, где MB – это расстояние от точки M до вершины B.
3. Поскольку медианы пересекаются в точке M, которая делит каждую из медиан в отношении 2:1, имеем:
MB = (1/3) * AM.
4. Подставляем значение MB в уравнение:
AC = 3 * (1/3) * AM,
AC = AM.
5. Поскольку M является центром масс (середина медиан), мы знаем, что M разделяет каждую медиану в отношении 2:1.
6. Теперь рассматриваем треугольники AMB и AMC:
В треугольнике AMB по теореме о медианах относительно стороны AB имеем:
b^2 + c^2 = (2/3 * AM)^2 + (1/3 * AC)^2,
или
b^2 + c^2 = (2/3 * AM)^2 + (1/3 * b)^2.
7. Теперь упростим:
b^2 + c^2 = (4/9) * AM^2 + (1/9) * b^2.
8. Умножим обе части на 9 для удобства:
9b^2 + 9c^2 = 4AM^2 + b^2.
9. Переносим все выражения на одну сторону:
8b^2 + 9c^2 = 4AM^2.
10. С учетом условия AC = AM, можем сказать, что AM = b.
11. Подставляем:
8b^2 + 9c^2 = 4b^2,
8b^2 - 4b^2 + 9c^2 = 0,
4b^2 + 9c^2 = 0.
12. Это означает, что существует отношение между сторонами, которое может быть представлено как:
b^2 + c^2 = a^2, что соответствует свойствам прямоугольного треугольника.
ответ:
Треугольник ABC является прямоугольным.