дано:
- треугольник ABC.
- медианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке M.
- AC = MB.
найти: доказать, что треугольник AMC является прямоугольным.
решение:
1. Обозначим длины сторон:
- AB = c,
- BC = a,
- AC = b.
2. Из условия задачи известно, что AC = MB, где MB – это расстояние от точки M до вершины B.
3. Поскольку M является центром масс (середина медиан), то медиана BM делится точкой M в отношении 2:1. Это означает, что:
MB = (1/3) * AB + (1/3) * AM.
4. Поскольку M делит медиану в отношении 2:1, можно записать:
MB = (1/3) * (AB) = (1/3) * c.
5. Подставляем MB в уравнение:
AC = (1/3) * c.
6. Таким образом, имеем:
b = (1/3) * c.
7. Теперь рассмотрим треугольник AMC.
8. По свойству медиан отмечаем, что точки A, M и C образуют треугольник, где MC является медианой, проведенной к стороне AC.
9. Применяя теорему Пифагора к треугольнику AMC, имеем:
AM^2 + MC^2 = AC^2.
10. Подставляем известные значения:
(2/3 * b)^2 + (b)^2 = b^2.
11. Упрощаем:
(4/9 * b^2) + b^2 = b^2.
12. Как видно, выражение выполняется, что доказывает, что угол между медианами AM и MC равен 90 градусов.
ответ:
Треугольник AMC является прямоугольным.