Дано:
- Треугольник ABC, в котором высоты из вершин A и B (h_a и h_b) равны между собой: h_a = h_b.
Найти:
- Доказать, что треугольник ABC является равнобедренным.
Решение:
1. Обозначим точку D как основание высоты h_a, проведенной из вершины A на сторону BC, и точку E как основание высоты h_b, проведенной из вершины B на сторону AC.
2. Поскольку h_a = h_b, это означает, что длины отрезков AD и BE равны, то есть AD = BE.
3. Рассмотрим отрезок AB. Мы можем провести высоты AD и BE перпендикулярно к сторонам BC и AC соответственно.
4. Заметим, что в прямоугольных треугольниках ADB и BEC:
- AD = BE (по условию)
- AB = AB (общая сторона)
5. По теореме о равенстве треугольников: если в двух треугольниках две стороны и угол между ними равны соответственно, то такие треугольники равны.
6. Так как h_a и h_b являются высотами, это также подразумевает, что углы BAD и CBE равны (по свойству высоты и перпендикулярности).
7. Следовательно, мы имеем равные стороны AD и BE, а также общий отрезок AB. Таким образом, треугольники ADB и BEC равны.
8. Из равенства треугольников следует, что стороны AC и BC равны, то есть AC = BC.
9. Это и доказывает, что треугольник ABC является равнобедренным.
Ответ:
Треугольник, две высоты которого равны между собой, является равнобедренным.