а)
Дано:
- Длина медианы CM = 7 м,
- Угол A = 30°,
- Угол C = 90°.
Найти:
- Длину меньшего катета (AC).
Решение:
1. В прямоугольном треугольнике ABC с углом A = 30°, угол B будет равен 60° (так как сумма углов треугольника равна 180°).
2. Обозначим длины катетов: AC = a (меньший катет), BC = b (больший катет), гипотенуза AB = c.
3. Из свойств треугольника с углом 30°:
a = c * sin(30°),
b = c * sin(60°).
4. Длина медианы CM, проведенной к гипотенузе, вычисляется по формуле:
CM = (1/2) * c * √(2 - 2 * cos(A)),
где A = 30°. Тогда cos(30°) = √3 / 2.
5. Подставляем значения в формулу медианы:
CM = (1/2) * c * √(2 - 2 * (√3 / 2)) = (1/2) * c * √(2 - √3).
6. Поскольку CM = 7, получаем:
7 = (1/2) * c * √(2 - √3).
7. Умножаем обе стороны на 2 и делим на √(2 - √3):
c = (14) / √(2 - √3).
8. Теперь найдем длину меньшего катета a:
a = c * sin(30°) = c * (1/2).
9. Подставляем значение c:
a = ((14) / √(2 - √3)) * (1/2) = 7 / √(2 - √3).
Ответ:
Длина меньшего катета равна 7 / √(2 - √3) м.
б)
Дано:
- Длина медианы CM = 19 м,
- Угол A = 30°,
- Угол C = 90°.
Найти:
- Длину меньшего катета (AC).
Решение:
1. Аналогично предыдущему примеру, угол B = 60°.
2. Используем ту же формулу для медианы:
CM = (1/2) * c * √(2 - 2 * cos(30°)), где cos(30°) = √3 / 2.
3. Подставляем значения в формулу медианы:
19 = (1/2) * c * √(2 - √3).
4. Умножаем обе стороны на 2 и делим на √(2 - √3):
c = (38) / √(2 - √3).
5. Находим длину меньшего катета a:
a = c * sin(30°) = c * (1/2).
6. Подставляем значение c:
a = ((38) / √(2 - √3)) * (1/2) = 19 / √(2 - √3).
Ответ:
Длина меньшего катета равна 19 / √(2 - √3) м.