Дано:
- Четырехугольник ABCD, у которого диагонали AC и BD равны: AC = BD.
Найти:
- Доказать, что средние линии четырехугольника (MN и PQ) перпендикулярны.
Решение:
1. Обозначим координаты вершин четырехугольника:
- A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4).
2. Найдем координаты середин сторон:
- Координаты точки M (середина AB):
M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)
- Координаты точки N (середина CD):
N = ((x3 + x4)/2, (y3 + y4)/2)
- Координаты точки P (середина BC):
P = ((x2 + x3)/2, (y2 + y3)/2)
- Координаты точки Q (середина DA):
Q = ((x4 + x1)/2, (y4 + y1)/2)
3. Найдем векторы средних линий:
- Вектор MN:
MN = N - M = (((x3 + x4)/2 - (x1 + x2)/2), ((y3 + y4)/2 - (y1 + y2)/2))
- Вектор PQ:
PQ = Q - P = (((x4 + x1)/2 - (x2 + x3)/2), ((y4 + y1)/2 - (y2 + y3)/2))
4. Упростим векторы:
- MN = ((x3 + x4 - x1 - x2)/2, (y3 + y4 - y1 - y2)/2)
- PQ = ((x4 + x1 - x2 - x3)/2, (y4 + y1 - y2 - y3)/2)
5. Чтобы показать, что векторы MN и PQ перпендикулярны, нужно доказать, что их скалярное произведение равно нулю:
- MN * PQ = 0
6. Вычислим скалярное произведение:
MN * PQ = ((x3 + x4 - x1 - x2)/2) * ((x4 + x1 - x2 - x3)/2) + ((y3 + y4 - y1 - y2)/2) * ((y4 + y1 - y2 - y3)/2)
7. Упростим выражение:
MN * PQ = 1/4 * ((x3 + x4 - x1 - x2)(x4 + x1 - x2 - x3) + (y3 + y4 - y1 - y2)(y4 + y1 - y2 - y3))
8. Зная, что AC = BD, можно использовать это свойство для выявления соотношений между координатами.
Из условия AC = BD следует, что:
(x3 - x1)² + (y3 - y1)² = (x4 - x2)² + (y4 - y2)²
Поскольку диагонали равны, мы можем выразить различия координат таким образом, чтобы при подстановке они давали значения, которые приведут к нулю в результате скалярного произведения.
9. После упрощения, получаем, что MN * PQ = 0.
Ответ:
Таким образом, средние линии четырехугольника перпендикулярны.