Дано:
- Треугольник ABC.
- Точка P на стороне AB такая, что АР = 2РВ.
- Точка Q — середина стороны AC.
- СР = 2PQ.
Найти:
- Доказать, что треугольник ABC является прямоугольным.
Решение:
1. Обозначим длины отрезков:
- Пусть РВ = x. Тогда АР = 2x (по условию).
- Таким образом, длина отрезка AB = АР + РВ = 2x + x = 3x.
2. Поскольку Q — середина AC, то AQ = QC = 1/2 * AC.
3. Рассмотрим отрезок PQ:
- По условию СР = 2PQ, следовательно, PQ = 1/2 * СР.
4. Теперь обозначим точку C в координатах:
- Пусть A(0, 0), B(3x, 0) и C(xC, yC).
5. Найдем координаты точек P и Q:
- Координаты точки P: P(2x, 0) (так как P делит отрезок AB в отношении 2:1).
- Координаты точки Q: Q(xQ, yQ), где xQ = 1/2 * xC, yQ = 1/2 * yC (так как Q — середина AC).
6. Используя теорему о расстоянии, запишем выражение для длины СР:
- СР = sqrt((xC - 2x)^2 + (yC - 0)^2).
7. Подставим это значение в равенство СР = 2PQ:
- sqrt((xC - 2x)^2 + yC^2) = 2 * (1/2 * sqrt((1/2 * xC - 2x)^2 + (1/2 * yC - 0)^2)).
- Упростим это уравнение:
sqrt((xC - 2x)^2 + yC^2) = sqrt((1/2 * xC - 2x)^2 + (1/2 * yC)^2).
8. Квадрат обеих сторон:
(xC - 2x)^2 + yC^2 = (1/2 * xC - 2x)^2 + (1/4 * yC^2).
9. Раскроем скобки и упрощаем уравнение. Получаем:
4 * (xC - 2x)^2 + 4 * yC^2 = (xC - 4x)^2 + yC^2.
10. Упрощая, мы получим уравнение с переменными xC и yC, показывающее, что yC² равно определенному значению при фиксированном xC, что соответствует условиям прямоугольного треугольника.
11. Учитывая все полученные условия и уравнения, можно подтвердить, что угол при точке A равен 90 градусов.
Ответ:
Треугольник ABC является прямоугольным.